Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1, infty) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Estamos trabalhando com um exercício de cálculo de limites em funções de duas variáveis. O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função:
lim (x, y) (1, infty) x y - y(x-1)^2 + y^2
Vamos precisar usar técnicas de simplificação de frações e analisar o comportamento da função conforme tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração:
x y - y = y(x - 1)
Então, a expressão do limite fica:
lim (x, y) (1, infty) y(x - 1)(x-1)^2 + y^2

Passo 3

Para facilitar a análise quando y(x - 1)(x-1)^2 + y^2 = y(x - 1)y^2(x-1)^2y^2 + y^2y^2 = x - 1y(x - 1)^2y^2 + 1 tende ao infinito, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos conforme 00 + 1 = 0 tende ao infinito:
  • tende a 0, já que cresce sem limite.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Portanto, a expressão simplificada fica:

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados