58 - Uma moeda nāo carregada está em uma região que tem um campo elétrico uniforme de módulo igual a
dirigido perpendicularmente às suas faces. (a) Determine a densidade de carga em cada face da moeda, considerando que elas sejam planas. (b) Seo raio da moeda é
, determine a carga total em uma das faces.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de eletrostática. O que a questão quer é que a gente encontre a densidade de carga nas duas faces de uma moeda que não está carregada, mas tá dentro de um campo elétrico uniforme. Além disso, querem saber qual é a carga total em uma das faces da moeda. Pra isso, vamos precisar entender como cargas se distribuem em condutores quando expostos a um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que acontece quando uma moeda metálica (que é condutora) é colocada em um campo elétrico. Mesmo que a moeda não esteja carregada inicialmente, o campo elétrico vai fazer com que as cargas dentro dela se separem: elétrons vão para um lado e íons positivos para o outro. Isso cria uma densidade de carga nas duas faces.
A densidade de carga induzida (
) em um condutor em equilíbrio é dada pela fórmula:
onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ) -
é o módulo do campo elétrico
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. O campo elétrico é de
, ou seja,
.
Calculando a densidade de carga:
Portanto, a densidade de carga em cada face da moeda é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a carga total em uma das faces da moeda. Sabemos que a carga total (
) é a densidade de carga (
) multiplicada pela área da face da moeda.
A área de uma face da moeda é dada por:
onde
é o raio da moeda. Aqui,
.
Calculando a área:
Agora, calculando a carga total:
Resposta
(a) A densidade de carga em cada face da moeda é aproximadamente
.
(b) A carga total em uma das faces da moeda é aproximadamente
.