58 - Uma moeda nāo carregada está em uma região que tem um campo elétrico uniforme de módulo igual a dirigido perpendicularmente às suas faces. (a) Determine a densidade de carga em cada face da moeda, considerando que elas sejam planas. (b) Seo raio da moeda é , determine a carga total em uma das faces.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de eletrostática. O que a questão quer é que a gente encontre a densidade de carga nas duas faces de uma moeda que não está carregada, mas tá dentro de um campo elétrico uniforme. Além disso, querem saber qual é a carga total em uma das faces da moeda. Pra isso, vamos precisar entender como cargas se distribuem em condutores quando expostos a um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando uma moeda metálica (que é condutora) é colocada em um campo elétrico. Mesmo que a moeda não esteja carregada inicialmente, o campo elétrico vai fazer com que as cargas dentro dela se separem: elétrons vão para um lado e íons positivos para o outro. Isso cria uma densidade de carga nas duas faces.
A densidade de carga induzida ( ) em um condutor em equilíbrio é dada pela fórmula:
onde:
  • é a permissividade do vácuo ( )
  • é o módulo do campo elétrico

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. O campo elétrico é de , ou seja, .
Calculando a densidade de carga:
Portanto, a densidade de carga em cada face da moeda é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga total em uma das faces da moeda. Sabemos que a carga total ( ) é a densidade de carga ( ) multiplicada pela área da face da moeda.
A área de uma face da moeda é dada por:
onde é o raio da moeda. Aqui, .
Calculando a área:
Agora, calculando a carga total:

Resposta

(a) A densidade de carga em cada face da moeda é aproximadamente .
(b) A carga total em uma das faces da moeda é aproximadamente .

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