59.) UM BLOCO DE MASSA M, ESTA PRESO EM UMA MOLA DE CONSTANTE ELASTICA K. OSISTEMA OSCILA COM AMPLITUDEX.
G m
(x2
EM lambda=0, A MASSA ENLONTRA-SE NA POSSILAD xm2. ESCREVA UMA EQUALAO PARA A ENERGIA CINÉTICA DO SISTEMA.
2,5
=F.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que pediu o exercício. Temos um bloco com massa preso numa mola que tem constante elástica . Esse sistema está oscilando com uma amplitude . Quando , a massa se estica até a posição . O que a gente precisa fazer é escrever uma equação para a energia cinética desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de energia em movimentos oscilatórios e como a mola funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é energia cinética. A energia cinética ( EC = 12 M v^2 ) de um objeto em movimento é dada por:
Onde:
  • é a massa do objeto.
  • é a velocidade do objeto.

Passo 3

No caso do sistema massa-mola, a velocidade da massa muda conforme ela oscila. Para relacionar a velocidade com a posição, usamos a equação da posição para uma oscilação harmônica simples:
x(t) = X cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude da oscilação.
  • é a frequência angular ( ).
  • é a fase da oscilação.

Passo 4

A velocidade ( v(t) = dx(t)dt = -X omega sin(omega t + phi) ) é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando :

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão da velocidade na fórmula da energia cinética:
EC = 12 M ( -X omega sin(omega t + phi) )^2

Passo 6

Simplificando a equação, já que o quadrado de um negativo é positivo:
EC = 12 M X^2 omega^2 sin^2(omega t + phi)

Resposta

A energia cinética do sistema é dada por:
EC = 12 M X^2 omega^2 sin^2(omega t + phi)

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