QUESTÃO 01(2,00 PONTOS): Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular de raio R. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme Q situada a uma distância D do plano do anel, sobre a direção que passa pelo centro do anel?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática. Temos uma carga
distribuída uniformemente em um anel circular de raio
. Queremos encontrar a força exercida sobre uma carga pontual
que está a uma distância
do plano do anel, na direção que passa pelo centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e considerar a simetria do anel.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a carga
está distribuída uniformemente no anel. Isso significa que a carga por unidade de comprimento no anel é
.
Passo 3
A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática,
e
são as cargas, e
é a distância entre elas.
Passo 4
Como a carga está distribuída no anel, precisamos integrar a força de cada elemento de carga
no anel sobre toda a circunferência para encontrar a força total na direção do eixo.
Passo 5
Devido à simetria, as componentes das forças nas direções perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente na direção do eixo. A componente da força na direção do eixo para um elemento
é:
onde
é o ângulo entre a linha que une
e a carga pontual e o eixo.
Passo 6
Calculamos
usando a relação geométrica no triângulo formado pelo raio
, a distância
e a hipotenusa
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 8
Integrando
ao longo de todo o anel:
Como
, então:
Resposta
A força exercida sobre a carga pontual
é: