QUESTÃO 01(2,00 PONTOS): Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular de raio R. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme Q situada a uma distância D do plano do anel, sobre a direção que passa pelo centro do anel?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática. Temos uma carga distribuída uniformemente em um anel circular de raio . Queremos encontrar a força exercida sobre uma carga pontual que está a uma distância do plano do anel, na direção que passa pelo centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e considerar a simetria do anel.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a carga está distribuída uniformemente no anel. Isso significa que a carga por unidade de comprimento no anel é .

Passo 3

A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde é a constante eletrostática, e são as cargas, e é a distância entre elas.

Passo 4

Como a carga está distribuída no anel, precisamos integrar a força de cada elemento de carga no anel sobre toda a circunferência para encontrar a força total na direção do eixo.

Passo 5

Devido à simetria, as componentes das forças nas direções perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente na direção do eixo. A componente da força na direção do eixo para um elemento é:
onde é o ângulo entre a linha que une e a carga pontual e o eixo.

Passo 6

Calculamos usando a relação geométrica no triângulo formado pelo raio , a distância e a hipotenusa :

Passo 7

Substituindo e na expressão de :

Passo 8

Integrando ao longo de todo o anel:
Como , então:

Resposta

A força exercida sobre a carga pontual é:

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EM , A MASSA ENLONTRA-SE NA POSSILAD . ESCREVA UMA EQUALAO PARA A ENERGIA CINÉTICA DO SISTEMA.
.
Mostre que para qualquer vetor , vale
laplaciano de .