8.59 Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite 1160 da sua massa como gás de exaustão e possui uma aceleração igual a 15,0 m / s2. Qual é o módulo da velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um foguete no espaço, onde a gravidade não interfere. Nos primeiros segundos de voo, o foguete libera uma certa quantidade de massa na forma de gás de exaustão, o que faz com que ele acelere. A pergunta é: qual é a velocidade desse gás de exaustão em relação ao foguete?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton e conservação da quantidade de movimento. Basicamente, quando o foguete libera gás para trás, ele ganha impulso para frente, e queremos descobrir a velocidade com que esse gás está sendo expelido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • A massa de gás expelida é 1160 da massa total do foguete.
  • A aceleração do foguete é 15,0 m / s^2.
  • O tempo considerado é de 1 segundo.

Passo 3

Sabemos que a força que está agindo no foguete pode ser calculada usando a segunda lei de Newton, que é:
F = m cdot a
Onde:
  • F é a força,
  • m é a massa do foguete,
  • a é a aceleração.

Passo 4

A força que está fazendo o foguete acelerar também é a força exercida pela ejeção do gás de exaustão. Essa força pode ser relacionada com a taxa de perda de massa e a velocidade do gás. A fórmula para essa força é:
F = dotm cdot ve
Onde:
  • dotm é a taxa de perda de massa (massa por unidade de tempo),
  • ve é a velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para a força:
m cdot a = dotm cdot ve
Queremos encontrar ve, então vamos rearranjar a fórmula:
ve = m cdot adotm

Passo 6

Precisamos agora determinar dotm, a taxa de perda de massa. Sabemos que a massa de gás expelida em 1 segundo é 1160m. Então:
dotm = m160 cdot 1 = m160 , kg/s

Passo 7

Substituindo dotm na fórmula de ve:
ve = m cdot am160 = 160 cdot a

Passo 8

Agora, basta substituir o valor da aceleração:
ve = 160 cdot 15,0 m/s^2 = 2400 m/s

Resposta

A velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete é de 2400 metros por segundo.

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