8.59 Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite da sua massa como gás de exaustão e possui uma aceleração igual a . Qual é o módulo da velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um foguete no espaço, onde a gravidade não interfere. Nos primeiros segundos de voo, o foguete libera uma certa quantidade de massa na forma de gás de exaustão, o que faz com que ele acelere. A pergunta é: qual é a velocidade desse gás de exaustão em relação ao foguete?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton e conservação da quantidade de movimento. Basicamente, quando o foguete libera gás para trás, ele ganha impulso para frente, e queremos descobrir a velocidade com que esse gás está sendo expelido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • A massa de gás expelida é da massa total do foguete.
  • A aceleração do foguete é .
  • O tempo considerado é de 1 segundo.

Passo 3

Sabemos que a força que está agindo no foguete pode ser calculada usando a segunda lei de Newton, que é:
Onde:
  • é a força,
  • é a massa do foguete,
  • é a aceleração.

Passo 4

A força que está fazendo o foguete acelerar também é a força exercida pela ejeção do gás de exaustão. Essa força pode ser relacionada com a taxa de perda de massa e a velocidade do gás. A fórmula para essa força é:
Onde:
  • é a taxa de perda de massa (massa por unidade de tempo),
  • é a velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para a força:
Queremos encontrar , então vamos rearranjar a fórmula:

Passo 6

Precisamos agora determinar , a taxa de perda de massa. Sabemos que a massa de gás expelida em 1 segundo é . Então:

Passo 7

Substituindo na fórmula de :

Passo 8

Agora, basta substituir o valor da aceleração:

Resposta

A velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete é de 2400 metros por segundo.

Exercícios relacionados

No momento em que um sinal luminoso fica verde, um carro que estava parado começa a mover-se com aceleração constante de . No mesmo instante, um caminhão que se desloca com velocidade constante de ultrapassa o carro.
Faça um gráfico dos movimentos desses dois veículos. Considere o ponto de intersecção inicial.
Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 até atingir a velocidade de . Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de até parar. (a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada?
Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide, , ao atingir a superfície da Terra. Resposta:
Uma turbina com 1,20 m de diâmetro está girando á 200 rev/min. Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda?