8.59 Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite
da sua massa como gás de exaustão e possui uma aceleração igual a
. Qual é o módulo da velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um foguete no espaço, onde a gravidade não interfere. Nos primeiros segundos de voo, o foguete libera uma certa quantidade de massa na forma de gás de exaustão, o que faz com que ele acelere. A pergunta é: qual é a velocidade desse gás de exaustão em relação ao foguete?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton e conservação da quantidade de movimento. Basicamente, quando o foguete libera gás para trás, ele ganha impulso para frente, e queremos descobrir a velocidade com que esse gás está sendo expelido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- A massa de gás expelida é
da massa total do foguete. - A aceleração do foguete é
. - O tempo considerado é de 1 segundo.
Passo 3
Sabemos que a força que está agindo no foguete pode ser calculada usando a segunda lei de Newton, que é:
Onde:
-
é a força, -
é a massa do foguete, -
é a aceleração.
Passo 4
A força que está fazendo o foguete acelerar também é a força exercida pela ejeção do gás de exaustão. Essa força pode ser relacionada com a taxa de perda de massa e a velocidade do gás. A fórmula para essa força é:
Onde:
-
é a taxa de perda de massa (massa por unidade de tempo), -
é a velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete.
Passo 5
Vamos igualar as duas expressões para a força:
Queremos encontrar
, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 6
Precisamos agora determinar
, a taxa de perda de massa. Sabemos que a massa de gás expelida em 1 segundo é
. Então:
Passo 7
Substituindo
na fórmula de
:
Passo 8
Agora, basta substituir o valor da aceleração:
Resposta
A velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete é de 2400 metros por segundo.