Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de
em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide,
, ao atingir a superfície da Terra. Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o problema: um asteróide está se movendo em direção à Terra com uma velocidade de
quando está a uma distância de 10 raios terrestres do centro da Terra. Precisamos encontrar a velocidade final,
, do asteróide ao atingir a superfície da Terra. Para resolver isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia mecânica total do asteróide. A energia mecânica é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial gravitacional (
):
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
-
é a massa do asteróide, -
é a velocidade do asteróide, -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a distância do asteróide ao centro da Terra.
Passo 3
Como não há atrito ou outras forças atuando, a energia mecânica total do asteróide é conservada durante o movimento. Portanto, a energia total na distância inicial é igual à energia total na superfície da Terra:
Onde:
-
é a velocidade inicial, -
é a distância inicial (10 vezes o raio da Terra), -
é o raio da Terra, -
é a velocidade final que queremos encontrar.
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Agora, isolamos
:
Multiplicando toda a equação por 2:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos calcular os termos com a constante gravitacional
e as massas envolvidas. Porém, como estamos interessados apenas na relação de velocidades, podemos usar a fórmula simplificada da conservação da energia para objetos que caem de uma distância
até
:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
-
, -
,
Temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Assumindo os valores numéricos corretos para
e
, a velocidade final calculada será aproximadamente
.
Resposta
A velocidade do asteróide ao atingir a superfície da Terra é de
.
Exercícios relacionados
8.59 Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite
da sua massa como gás de exaustão e possui uma aceleração igual a
. Qual é o módulo da velocidade do gás de exaustão em relação ao foguete?
No momento em que um sinal luminoso fica verde, um carro que estava parado começa a mover-se com aceleração constante de
. No mesmo instante, um caminhão que se desloca com velocidade constante de
ultrapassa o carro.
Faça um gráfico dos movimentos desses dois veículos. Considere
o ponto de intersecção inicial.
Faça um gráfico
Uma turbina com 1,20 m de diâmetro está girando á 200 rev/min. Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda?
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima.