Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide, , ao atingir a superfície da Terra. Resposta:

Passo 1

Vamos resumir o problema: um asteróide está se movendo em direção à Terra com uma velocidade de quando está a uma distância de 10 raios terrestres do centro da Terra. Precisamos encontrar a velocidade final, , do asteróide ao atingir a superfície da Terra. Para resolver isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia mecânica total do asteróide. A energia mecânica é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial gravitacional ( ):
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
  • é a massa do asteróide,
  • é a velocidade do asteróide,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é a distância do asteróide ao centro da Terra.

Passo 3

Como não há atrito ou outras forças atuando, a energia mecânica total do asteróide é conservada durante o movimento. Portanto, a energia total na distância inicial é igual à energia total na superfície da Terra:
Onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é a distância inicial (10 vezes o raio da Terra),
  • é o raio da Terra,
  • é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Agora, isolamos :
Multiplicando toda a equação por 2:

Passo 5

Para encontrar , precisamos calcular os termos com a constante gravitacional e as massas envolvidas. Porém, como estamos interessados apenas na relação de velocidades, podemos usar a fórmula simplificada da conservação da energia para objetos que caem de uma distância até :

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
  • ,
  • ,
Temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Assumindo os valores numéricos corretos para e , a velocidade final calculada será aproximadamente .

Resposta

A velocidade do asteróide ao atingir a superfície da Terra é de .

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