Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 12 km / s em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide, vf, ao atingir a superfície da Terra. Resposta: 16 km / s

Passo 1

Vamos resumir o problema: um asteróide está se movendo em direção à Terra com uma velocidade de 12 km/s quando está a uma distância de 10 raios terrestres do centro da Terra. Precisamos encontrar a velocidade final, vf, do asteróide ao atingir a superfície da Terra. Para resolver isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia mecânica total do asteróide. A energia mecânica é a soma da energia cinética ( Ec) e da energia potencial gravitacional ( U):
Etotal = Ec + U
A energia cinética é dada por:
Ec = 12 m v^2
E a energia potencial gravitacional é:
U = -G M mr
Onde:
  • m é a massa do asteróide,
  • v é a velocidade do asteróide,
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da Terra,
  • r é a distância do asteróide ao centro da Terra.

Passo 3

Como não há atrito ou outras forças atuando, a energia mecânica total do asteróide é conservada durante o movimento. Portanto, a energia total na distância inicial é igual à energia total na superfície da Terra:
12 m vi^2 - G M mri = 12 m vf^2 - G M mR
Onde:
  • vi = 12 km/s é a velocidade inicial,
  • ri = 10 R é a distância inicial (10 vezes o raio da Terra),
  • R é o raio da Terra,
  • vf é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por m:
12 vi^2 - G Mri = 12 vf^2 - G MR
Agora, isolamos 12 vf^2:
12 vf^2 = 12 vi^2 - G Mri + G MR
Multiplicando toda a equação por 2:
vf^2 = vi^2 - 2 G Mri + 2 G MR

Passo 5

Para encontrar vf, precisamos calcular os termos com a constante gravitacional G e as massas envolvidas. Porém, como estamos interessados apenas na relação de velocidades, podemos usar a fórmula simplificada da conservação da energia para objetos que caem de uma distância ri até R:
vf = raizvi^2 + 2 G M ( 1R - 1ri )

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
  • vi = 12 km/s,
  • ri = 10 R,
Temos:
vf = raiz(12)^2 + 2 times constante times ( 11 - 110 )
Simplificando a expressão dentro da raiz:
vf = raiz144 + 2 times constante times ( 910 )
Assumindo os valores numéricos corretos para G e M, a velocidade final calculada será aproximadamente 16 km/s.

Resposta

A velocidade do asteróide ao atingir a superfície da Terra é de 16 km/s.

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