1. Texto Explique o que significa uma função vetorial r(t) ser diferenciável e discuta interpretações geométricas de r'(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar o que significa uma função vetorial r(t) ser diferenciável e discutir o que o seu derivado r'(t) representa geometricamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada de funções vetoriais e como elas se conectam com a geometria das curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. Uma função vetorial r(t) mapeia um parâmetro t (que pode representar, por exemplo, o tempo) para um vetor no espaço, geralmente escrito como . Cada componente da função, como x(t), y(t) e z(t), é uma função escalar que descreve as coordenadas do ponto no espaço para cada valor de t.

Passo 3

Agora, falar sobre uma função ser diferenciável. Dizemos que r(t) é diferenciável em um ponto se todas as suas componentes são diferenciáveis nesse ponto. Isso significa que as derivadas , e existem. Em termos simples, uma função vetorial diferenciável tem uma taxa de variação bem definida em cada direção no espaço.

Passo 4

Vamos para o derivado r'(t). Esse derivado é dado por . Geometricamente, r'(t) representa o vetor tangente à curva no ponto correspondente a t. Ou seja, ele indica a direção em que a curva está seguindo naquele ponto específico.

Passo 5

Para entender melhor, imagine que você está andando por um caminho no parque. Se a posição no tempo é dada por r(t), então o vetor r'(t) indica a sua direção e velocidade naquele exato momento. Se você está andando para a direita, r'(t) aponta para a direita; se está parando, o vetor derivado será zero.

Resposta

Então, resumindo, uma função vetorial r(t) ser diferenciável significa que todas as suas componentes têm derivadas bem definidas. O derivado r'(t) fornece o vetor tangente à curva no ponto considerado, representando a direção e a velocidade da trajetória naquele instante.

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