Dada a funçāo definida por
Verifique se é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de um jeito diferente dependendo do valor de . A tarefa é ver se essa função é contínua quando . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites, que são as ferramentas que vamos usar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se a função está definida em . Olhando para a definição da função:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ).
Para , . Então:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ).
Para , . Então:

Passo 6

Agora, com os limites calculados, vamos ver se o limite geral da função quando se aproxima de 1 existe. Esses dois limites laterais são iguais:
Então, o limite de quando se aproxima de 1 é 1.

Passo 7

Por último, vamos comparar o limite com o valor da função em :
Como o limite é diferente de , a terceira condição da continuidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em .

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