5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função , calcular esse gradiente no ponto e descobrir qual é a taxa de variação da função nesse ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o vetor gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação da função na direção do vetor , usamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção :

Resposta

A taxa de variação da função no ponto na direção do vetor é .

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