5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
.
e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função
, calcular esse gradiente no ponto
e descobrir qual é a taxa de variação da função nesse ponto na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o vetor gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da função na direção do vetor
, usamos o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor direção
:
Resposta
A taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia determine
.
e
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
em
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
e
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor
.
e