Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor . e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas direcionais e gradiente, para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Assim, o gradiente de é:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor para obter a direção unitária. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento.
Comprimento de :
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário na direção de :

Resposta

A derivada direcional é .

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo . e
5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q . e