Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor
.
e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas direcionais e gradiente, para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Assim, o gradiente de
é:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
para obter a direção unitária. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento.
Comprimento de
:
Portanto, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 7
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor unitário na direção de
:
Resposta
A derivada direcional é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
e
5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor .
e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção de P ao ponto Q .
e