Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. f(x, y) = y^2 * e^x em 0,3,9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto específico . Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais e equações de planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de .
A derivada parcial de em relação a ( ) é:
A derivada parcial de em relação a ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Com os valores das derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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