Usando a regra da cadeia determine
.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A gente tem que trabalhar com a função
, onde
e
. Então, vamos precisar entender como cada variável está relacionada e aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das variáveis
e
. Sabemos que:
Assim,
está expresso diretamente em função de
e
, mas para facilitar a aplicação da regra da cadeia, vamos manter
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se temos uma função
que depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
-
Derivadas de
em relação a e : -
Derivadas de
e em relação a e :
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na regra da cadeia que vimos no Passo 3:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos simplificar essas expressões substituindo
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
em
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da quantidade no início desse intervalo. O gráfico abaixo representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.
F. D. Fuchs e Cher I. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.
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5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor .
e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
e