Usando a regra da cadeia determine . e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A gente tem que trabalhar com a função , onde e . Então, vamos precisar entender como cada variável está relacionada e aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos das variáveis e . Sabemos que:
Assim, está expresso diretamente em função de e , mas para facilitar a aplicação da regra da cadeia, vamos manter em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se temos uma função que depende de e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de em relação a e :
  2. Derivadas de e em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na regra da cadeia que vimos no Passo 3:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos simplificar essas expressões substituindo e :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. em
A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a da quantidade no início desse intervalo. O gráfico abaixo representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

F. D. Fuchs e Cher I. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 horas em um paciente, qual é o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 horas e 30 minutos?
5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . e
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo . e