Usando a regra da cadeia determine partial zpartial s e partial zpartial t. z=sen(theta) / r com theta=s^2+t^2 e r=s t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A gente tem que trabalhar com a função , onde e . Então, vamos precisar entender como cada variável está relacionada e aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função theta = s^2 + t^2 em termos das variáveis r = s cdot t e z = sin(theta)r = sin(s^2 + t^2)s cdot t . Sabemos que:
Assim, está expresso diretamente em função de e , mas para facilitar a aplicação da regra da cadeia, vamos manter em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se temos uma função partial zpartial s = partial zpartial theta cdot partial thetapartial s + partial zpartial r cdot partial rpartial s que depende de partial zpartial t = partial zpartial theta cdot partial thetapartial t + partial zpartial r cdot partial rpartial t e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial zpartial theta = cos(theta)r em relação a partial zpartial r = -sin(theta)r^2 e partial thetapartial s = 2s :
    partial thetapartial t = 2t
    partial rpartial s = t
  2. Derivadas de partial rpartial t = s e em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na regra da cadeia que vimos no Passo 3:
Para partial zpartial s = cos(theta)r cdot 2s + (-sin(theta)r^2) cdot t :
partial zpartial t = cos(theta)r cdot 2t + (-sin(theta)r^2) cdot s
Para :

Passo 6

Vamos simplificar essas expressões substituindo partial zpartial s = cos(s^2 + t^2)s cdot t cdot 2s - sin(s^2 + t^2)(s cdot t)^2 cdot t e = 2s cos(s^2 + t^2)s cdot t - t sin(s^2 + t^2)s^2 t^2 :
Para = 2 cos(s^2 + t^2)t - sin(s^2 + t^2)s^2 t :
partial zpartial t = cos(s^2 + t^2)s cdot t cdot 2t - sin(s^2 + t^2)(s cdot t)^2 cdot s
= 2t cos(s^2 + t^2)s cdot t - s sin(s^2 + t^2)s^2 t^2
= 2 cos(s^2 + t^2)s - sin(s^2 + t^2)s t^2
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2 cos(s^2 + t^2)t - sin(s^2 + t^2)s^2 t
partial zpartial t = 2 cos(s^2 + t^2)s - sin(s^2 + t^2)s t^2

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