Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo . e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção indicada pelo ângulo . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, calcular o gradiente da função e determinar o vetor de direção a partir do ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas parciais:
No ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor direcional a partir do ângulo . O vetor direcional é dado por:
Calculando os valores:
Então, temos:

Passo 4

A derivada direcional é calculada como o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direcional:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor . e
Usando a regra da cadeia determine . e
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor . e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.