Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto
na direção indicada pelo ângulo
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, calcular o gradiente da função e determinar o vetor de direção a partir do ângulo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor direcional a partir do ângulo
. O vetor direcional é dado por:
Calculando os valores:
Então, temos:
Passo 4
A derivada direcional é calculada como o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direcional:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
5a
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor .
e
Em cada caso abaixo determine o vetor gradiente, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação da função em P na direção do vetor
Usando a regra da cadeia determine
.
e
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e da direção do vetor
.
e
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.