(a) Demonstre que a posição da partícula é dada por
Determine (b) a velocidade máxima e o primeiro instante
no qual a partícula tem esta velocidade, © a aceleração máxima e o primeiro instante
em que a partícula tem esta aceleração, e (d) a distância total percorrida entre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma posição de uma partícula em função do tempo:
O conteúdo aqui está relacionado com Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve conceitos de posição, velocidade e aceleração. Para resolver os itens (b), © e (d), vamos precisar entender como derivar a posição para encontrar velocidade e aceleração, além de calcular distâncias.
Passo 2
Parte (b): Encontrar a velocidade máxima e o primeiro instante em que ela ocorre.
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A posição é:
Derivando em relação ao tempo:
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno é 1:
Agora, para encontrar o primeiro instante
em que a velocidade atinge essa máxima, precisamos que
:
Mas queremos
. O próximo ponto onde
é quando o argumento aumenta em
:
Passo 3
Parte ©: Encontrar a aceleração máxima e o primeiro instante em que ela ocorre.
A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição.
Já tínhamos a velocidade:
Derivando novamente:
A aceleração máxima em módulo ocorre quando :
Para encontrar o primeiro instante
onde isso acontece, resolvemos:
O menor
onde isso acontece é quando:
Passo 4
Parte (d): Calcular a distância total percorrida entre
e
.
No Movimento Harmônico Simples, a partícula oscila ao redor da posição de equilíbrio. Para calcular a distância total, precisamos considerar os deslocamentos sem considerar o sentido.
A amplitude é
, então em cada ciclo completo, a partícula percorre uma distância de
.
Primeiro, vamos determinar o período
:
Em
, a partícula completa:
- 1 ciclo completo em
(distância: ) - Restam
onde ela percorre de até e volta para (distância: )
Então, a distância total é:
Resposta
(a) A posição da partícula é dada por .
(b) A velocidade máxima é
e ocorre pela primeira vez em
.
© A aceleração máxima é
e ocorre pela primeira vez em
.
(d) A distância total percorrida entre
e
é
.
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; (b)
.
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