(a) Demonstre que a posição da partícula é dada por
Determine (b) a velocidade máxima e o primeiro instante no qual a partícula tem esta velocidade, © a aceleração máxima e o primeiro instante em que a partícula tem esta aceleração, e (d) a distância total percorrida entre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma posição de uma partícula em função do tempo:
O conteúdo aqui está relacionado com Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve conceitos de posição, velocidade e aceleração. Para resolver os itens (b), © e (d), vamos precisar entender como derivar a posição para encontrar velocidade e aceleração, além de calcular distâncias.

Passo 2

Parte (b): Encontrar a velocidade máxima e o primeiro instante em que ela ocorre.
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A posição é:
Derivando em relação ao tempo:
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno é 1:
á
Agora, para encontrar o primeiro instante em que a velocidade atinge essa máxima, precisamos que :
Mas queremos . O próximo ponto onde é quando o argumento aumenta em :

Passo 3

Parte ©: Encontrar a aceleração máxima e o primeiro instante em que ela ocorre.
A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição.
Já tínhamos a velocidade:
Derivando novamente:
A aceleração máxima em módulo ocorre quando :
á
Para encontrar o primeiro instante onde isso acontece, resolvemos:
O menor onde isso acontece é quando:

Passo 4

Parte (d): Calcular a distância total percorrida entre e .
No Movimento Harmônico Simples, a partícula oscila ao redor da posição de equilíbrio. Para calcular a distância total, precisamos considerar os deslocamentos sem considerar o sentido.
A amplitude é , então em cada ciclo completo, a partícula percorre uma distância de .
Primeiro, vamos determinar o período :
Em , a partícula completa:
  • 1 ciclo completo em (distância: )
  • Restam onde ela percorre de até e volta para (distância: )
Então, a distância total é:

Resposta

(a) A posição da partícula é dada por .
(b) A velocidade máxima é e ocorre pela primeira vez em .
© A aceleração máxima é e ocorre pela primeira vez em .
(d) A distância total percorrida entre e é .

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