(1,5pt) Obtenha o intervalo de convergência da séric de potências sumn=0^infty(-1)^n (x-2)^nn 3^n.
I=-1 <= x <= 5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty(-1)^n (x-2)^nn 3^n. Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas convergem, ou seja, para quais valores de x a série dá um resultado finito. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta comum para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é comparar o termo geral da série an+1an e ver o que acontece quando n tende ao infinito.

Passo 3

Identificamos o termo geral da nossa série:
an = (-1)^n (x-2)^nn 3^n
Agora, encontramos an+1:
an+1 = (-1)^n+1 (x-2)^n+1(n+1) 3^n+1

Passo 4

Calculamos a razão |an+1an|:
|an+1an| = |(-1)^n+1 (x-2)^n+1(n+1) 3^n+1(-1)^n (x-2)^nn 3^n| = |(x-2)3 cdot nn+1|

Passo 5

Simplificamos a expressão:
|an+1an| = |(x-2)3| cdot nn+1
Quando n tende ao infinito, nn+1 to 1. Então, temos:
L = |(x-2)3|

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
|(x-2)3| < 1
Resolvendo a desigualdade:
-1 < (x-2)3 < 1
Multiplicando todos os lados por 3:
-3 < x - 2 < 3
Somando 2 em todos os lados:
-1 < x < 5

Passo 7

Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para x = -1:
Essa série é a série harmônica, que diverge.
  • Para sumn=0^infty(-1)^n (-1-2)^nn 3^n = sumn=0^infty(-1)^n (-3)^nn 3^n = sumn=0^infty (-1)^n(-1)^n 3^nn 3^n = sumn=0^infty 1n :
x = 5
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x <= 5.

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