Verifique se os campos são ou não conservativos, em caso afirmativo determine uma função potencial com F(x, y, z) = (e^x * y * z, e^x * z + 2 * y * z, e^x * y + y^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e cálculo vetorial, especialmente ao conceito de campo conservativo e função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função f(x, y, z) tal que . Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional (ou curl) dele. Se o rotacional for igual a zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. Lembrando que o rotacional de um campo é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
ç
  1. Segunda componente:
ç
  1. Terceira componente:
ç

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, temos que:
Portanto, o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, precisamos encontrar uma função potencial f(x, y, z) tal que . Isso significa que:
Vamos encontrar f(x, y, z) integrando essas equações.

Passo 6

Começamos integrando a primeira equação em relação a x:
Aqui, é uma função que depende apenas de y e z, já que a derivada em relação a x eliminou sua dependência.

Passo 7

Agora, derivamos f(x, y, z) em relação a y e igualamos à segunda componente de F:
Isso nos dá:
Integrando em relação a y:
Onde é uma função que depende apenas de z.

Passo 8

Substituímos na expressão de f(x, y, z):
Agora, derivamos f em relação a z e igualamos à terceira componente de F:
Isso resulta em:
Integrando em relação a z:
Onde C é a constante de integração. Podemos ignorar C ou considerá-la como zero para simplificar.

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão de f(x, y, z):
Para simplificar, podemos escrever a função potencial como:

Resposta

A função potencial é .

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