Verifique se os campos são ou não conservativos, em caso afirmativo determine uma função potencial com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e cálculo vetorial, especialmente ao conceito de campo conservativo e função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional (ou curl) dele. Se o rotacional for igual a zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que o rotacional de um campo
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, temos que:
Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos encontrar
integrando essas equações.
Passo 6
Começamos integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, já que a derivada em relação a
eliminou sua dependência.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Substituímos
na expressão de
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira componente de
:
Isso resulta em:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Podemos ignorar
ou considerá-la como zero para simplificar.
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Para simplificar, podemos escrever a função potencial como:
Resposta
A função potencial é
.