0,7 pt Obtenha a série de Taylor de g(x) = cos(x^2) em torno de x = x0, e informe o seu intervalo de convergência.
Dica: Use o item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função em torno de um ponto . Isso está dentro do conteúdo de Séries de Taylor em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir funções trigonométricas em séries e entender o que é uma série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
No caso da função , a série de Taylor em torno de é conhecida e é:

Passo 3

Como a nossa função é , podemos fazer uma substituição na série de Taylor da . Vamos substituir por :

Passo 4

Agora, essa é a série de Taylor de em torno de . Se quisermos expandir em torno de um ponto geral , precisaríamos usar a fórmula geral da série de Taylor mencionada no Passo 2, calculando as derivadas de em . Porém, para simplificar, consideramos a expansão em torno de .

Passo 5

Finalmente, sobre o intervalo de convergência, como a função -\infty, \infty é analítica em todo o seu domínio (que é todo o conjunto dos números reais), a série de Taylor que encontramos converge para todos os valores de . Ou seja, o intervalo de convergência é:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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