Obtenha a série de Taylor de
em torno de
, e informe o seu intervalo de convergência.
Dica: Use o item anterior.
Dica: Use o item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
em torno de um ponto
. Isso está dentro do conteúdo de Séries de Taylor em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir funções trigonométricas em séries e entender o que é uma série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
No caso da função
, a série de Taylor em torno de
é conhecida e é:
Passo 3
Como a nossa função é
, podemos fazer uma substituição na série de Taylor da
. Vamos substituir
por
:
Passo 4
Agora, essa é a série de Taylor de
em torno de
. Se quisermos expandir em torno de um ponto geral
, precisaríamos usar a fórmula geral da série de Taylor mencionada no Passo 2, calculando as derivadas de
em
. Porém, para simplificar, consideramos a expansão em torno de
.
Passo 5
Finalmente, sobre o intervalo de convergência, como a função
é analítica em todo o seu domínio (que é todo o conjunto dos números reais), a série de Taylor que encontramos converge para todos os valores de
. Ou seja, o intervalo de convergência é:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.