q)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma desigualdade envolvendo frações algébricas:
Conteúdo da matéria: Para resolver essa desigualdade, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre frações algébricas, igualdades e análise de sinais.
O que vamos precisar: Entender como manipular frações algébricas, encontrar denominadores comuns, identificar pontos críticos (onde a expressão pode mudar de sinal) e analisar os intervalos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para um único lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos a fração do lado direito da desigualdade:
Teoria aplicada: Quando temos uma desigualdade com duas frações, é útil unificar as frações para poder compará-las diretamente. Isso nos permite simplificar e encontrar os valores de
que satisfazem a desigualdade.
Passo 3
Para subtrair as duas frações, precisamos de um denominador comum. Vamos fatorar os denominadores para encontrar esse denominador comum.
Primeiro, fatoramos
:
Em seguida, fatoramos o denominador
:
Teoria aplicada: Fatorar os denominadores nos ajuda a identificar os pontos críticos onde as frações podem mudar de sinal ou serem indefinidas, o que é essencial para resolver a desigualdade.
Passo 4
Agora que temos os denominadores fatorados, podemos identificar o denominador comum, que é o produto de todos os fatores:
Com isso, reescrevemos as frações com o denominador comum:
Teoria aplicada: Ao ter um denominador comum, podemos subtrair as frações diretamente, mantendo o denominador igual. Isso simplifica a expressão e facilita a análise dos sinais.
Passo 5
Agora, colocamos as frações sobre o denominador comum:
Simplificamos o numerador:
Vamos expandir as expressões:
- Expanda
. - Expanda
. - Subtraia o segundo resultado do primeiro.
Teoria aplicada: Expandir as expressões ajuda a simplificar o numerador, permitindo que possamos identificar as raízes ou fatores que influenciam o sinal da expressão.
Passo 6
Após expandir e simplificar, o numerador resultante é uma expressão polinomial que podemos fatorar para encontrar suas raízes. Vamos chamar essa expressão de
.
Então, a desigualdade fica:
Teoria aplicada: As raízes de
e as raízes do denominador comum são os pontos onde a expressão pode mudar de sinal. Analisar esses pontos nos permite determinar em quais intervalos a desigualdade é satisfeita.
Passo 7
Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
- As raízes de
são as soluções para . - As raízes do denominador comum são
e as raízes do polinômio .
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde a expressão pode ser positiva ou negativa.
Teoria aplicada: Para resolver a desigualdade, precisamos testar os sinais da expressão em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Passo 8
Agora, fazemos uma análise de sinais em cada intervalo definido pelos pontos críticos:
- Escolhemos um número de teste em cada intervalo.
- Substituímos esse número na expressão
para determinar se o resultado é positivo ou negativo. - Anotamos onde a expressão é menor ou igual a zero.
Teoria aplicada: A análise de sinais nos permite entender onde a expressão atende à desigualdade dada, identificando os intervalos de
que são soluções.
Passo 9
Após a análise de sinais, identificamos os intervalos onde a desigualdade é satisfeita:
Teoria aplicada: Esses intervalos correspondem aos valores de
onde a expressão
é verdadeira.
Resposta
A solução da desigualdade é:
Exercícios relacionados
l)
6
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças
(a)
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças
(a)
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (a)
.
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: (d)
.