q)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma desigualdade envolvendo frações algébricas:
Conteúdo da matéria: Para resolver essa desigualdade, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre frações algébricas, igualdades e análise de sinais.
O que vamos precisar: Entender como manipular frações algébricas, encontrar denominadores comuns, identificar pontos críticos (onde a expressão pode mudar de sinal) e analisar os intervalos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um único lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos a fração do lado direito da desigualdade:
Teoria aplicada: Quando temos uma desigualdade com duas frações, é útil unificar as frações para poder compará-las diretamente. Isso nos permite simplificar e encontrar os valores de que satisfazem a desigualdade.

Passo 3

Para subtrair as duas frações, precisamos de um denominador comum. Vamos fatorar os denominadores para encontrar esse denominador comum.
Primeiro, fatoramos :
Em seguida, fatoramos o denominador :
Teoria aplicada: Fatorar os denominadores nos ajuda a identificar os pontos críticos onde as frações podem mudar de sinal ou serem indefinidas, o que é essencial para resolver a desigualdade.

Passo 4

Agora que temos os denominadores fatorados, podemos identificar o denominador comum, que é o produto de todos os fatores:
Com isso, reescrevemos as frações com o denominador comum:
Teoria aplicada: Ao ter um denominador comum, podemos subtrair as frações diretamente, mantendo o denominador igual. Isso simplifica a expressão e facilita a análise dos sinais.

Passo 5

Agora, colocamos as frações sobre o denominador comum:
Simplificamos o numerador:
Vamos expandir as expressões:
  1. Expanda .
  2. Expanda .
  3. Subtraia o segundo resultado do primeiro.
Teoria aplicada: Expandir as expressões ajuda a simplificar o numerador, permitindo que possamos identificar as raízes ou fatores que influenciam o sinal da expressão.

Passo 6

Após expandir e simplificar, o numerador resultante é uma expressão polinomial que podemos fatorar para encontrar suas raízes. Vamos chamar essa expressão de .
Então, a desigualdade fica:
Teoria aplicada: As raízes de e as raízes do denominador comum são os pontos onde a expressão pode mudar de sinal. Analisar esses pontos nos permite determinar em quais intervalos a desigualdade é satisfeita.

Passo 7

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
  • As raízes de são as soluções para .
  • As raízes do denominador comum são e as raízes do polinômio .
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde a expressão pode ser positiva ou negativa.
Teoria aplicada: Para resolver a desigualdade, precisamos testar os sinais da expressão em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.

Passo 8

Agora, fazemos uma análise de sinais em cada intervalo definido pelos pontos críticos:
  1. Escolhemos um número de teste em cada intervalo.
  2. Substituímos esse número na expressão para determinar se o resultado é positivo ou negativo.
  3. Anotamos onde a expressão é menor ou igual a zero.
Teoria aplicada: A análise de sinais nos permite entender onde a expressão atende à desigualdade dada, identificando os intervalos de que são soluções.

Passo 9

Após a análise de sinais, identificamos os intervalos onde a desigualdade é satisfeita:
Teoria aplicada: Esses intervalos correspondem aos valores de onde a expressão é verdadeira.

Resposta

A solução da desigualdade é:

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l)
6
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças
(a)
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (a) .
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: (d) .