A 60 kg skier starts from rest at height
above the end of a ski-jump ramp (Fig. 8-35) and leaves the ramp at angle
. Neglect the effects of air resistance and assume the ramp is frictionless. (a) What is the maximum height
of his jump above the end of the ramp? (b) If he increased his weight by putting on a backpack, would
then be greater, less, or the same?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um esquiador de 60 kg que começa do repouso a uma altura de
acima do final de uma rampa de esqui. Ele deixa a rampa com um ângulo de
. Precisamos encontrar a altura máxima
que ele alcança após sair da rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e cinética, além de trigonometria para decompor as forças envolvidas.
Passo 2
Vamos começar calculando a velocidade com que o esquiador sai da rampa. Como a rampa é sem atrito e ele começa do repouso, toda a energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética na saída da rampa.
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
é a massa do esquiador, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial.
A energia cinética na saída da rampa é:
Igualando as energias:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que temos a velocidade de saída da rampa, vamos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal e vertical usando o ângulo
.
As componentes são:
Calculando:
Passo 4
A altura máxima
que o esquiador alcança acima do final da rampa ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero. Usaremos a equação de movimento para determinar
:
No ponto mais alto,
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A altura máxima
que o esquiador alcança acima do final da rampa é aproximadamente 4,41 metros. Quanto à segunda parte da questão, se ele aumentasse seu peso colocando uma mochila, a altura
permanece a mesma. Isso porque, na equação
, a massa do esquiador não aparece, indicando que a altura máxima depende apenas da componente vertical da velocidade e da aceleração da gravidade.