A 60 kg skier starts from rest at height H=20 m above the end of a ski-jump ramp (Fig. 8-35) and leaves the ramp at angle theta=28^circ. Neglect the effects of air resistance and assume the ramp is frictionless. (a) What is the maximum height h of his jump above the end of the ramp? (b) If he increased his weight by putting on a backpack, would h then be greater, less, or the same?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um esquiador de 60 kg que começa do repouso a uma altura de acima do final de uma rampa de esqui. Ele deixa a rampa com um ângulo de . Precisamos encontrar a altura máxima que ele alcança após sair da rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e cinética, além de trigonometria para decompor as forças envolvidas.

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade com que o esquiador sai da rampa. Como a rampa é sem atrito e ele começa do repouso, toda a energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética na saída da rampa.
A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m cdot g cdot H
onde:
  • Ec = 12 m v^2 é a massa do esquiador,
  • m cdot g cdot H = 12 m v^2 é a aceleração da gravidade,
  • g cdot H = 12 v^2 é a altura inicial.
A energia cinética na saída da rampa é:
v = raiz2 g H = raiz2 cdot 9,8 cdot 20 = raiz392 approx 19,8 , m/s
Igualando as energias:
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos a velocidade de saída da rampa, vamos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal e vertical usando o ângulo vx = v cdot cos(theta) .
As componentes são:
vy = v cdot sin(theta)
vx = 19,8 cdot cos(28^circ) approx 19,8 cdot 0,8829 approx 17,5 , m/s
Calculando:
vy = 19,8 cdot sin(28^circ) approx 19,8 cdot 0,4695 approx 9,3 , m/s

Passo 4

A altura máxima vy^2 = uy^2 - 2 g h que o esquiador alcança acima do final da rampa ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero. Usaremos a equação de movimento para determinar 0 = uy^2 - 2 g h :
h = uy^22 g = (9,3)^22 cdot 9,8 = 86,4919,6 approx 4,41 , m
No ponto mais alto, , então:
Resolvendo para :

Resposta

A altura máxima que o esquiador alcança acima do final da rampa é aproximadamente 4,41 metros. Quanto à segunda parte da questão, se ele aumentasse seu peso colocando uma mochila, a altura permanece a mesma. Isso porque, na equação , a massa do esquiador não aparece, indicando que a altura máxima depende apenas da componente vertical da velocidade e da aceleração da gravidade.

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