In Problem 6, what are the magnitudes of (a) the horizontal component and (b) the vertical component of the net force acting on the block at point
? © At what height
should the block be released from rest so that it is on the verge of losing contact with the track at the top of the loop? (On the verge of losing contact means that the normal force on the block from the track has just then become zero.) (d) Graph the magnitude of the normal force on the block at the top of the loop versus initial height
, for the range
to
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre forças em um bloco que está passando por um ponto Q em uma trajetória circular. A matéria envolvida aqui é a Dinâmica Circular, que estuda as forças e movimentos quando objetos se movem em trajetórias circulares. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar entender as componentes horizontal e vertical da força resultante que atua no bloco no ponto Q. Para a parte ©, vamos aplicar conceitos de energia e força centrípeta para encontrar a altura inicial
necessária. E na parte (d), vamos relacionar a força normal com a altura inicial para fazer o gráfico solicitado.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Qual é a magnitude da componente horizontal da força resultante no bloco no ponto Q?
No movimento circular, a força resultante que mantém o bloco na trajetória é a força centrípeta, que aponta para o centro da curva. A fórmula para a força centrípeta é:
Aqui,
é a massa do bloco,
é a velocidade no ponto Q, e
é o raio da curva. No ponto Q, vamos supor que a direção horizontal da força resultante é responsável por manter o movimento circular, então a componente horizontal da força resultante é igual à força centrípeta.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): Qual é a magnitude da componente vertical da força resultante no bloco no ponto Q?
A componente vertical da força resultante é a soma das forças na direção vertical. Temos o peso do bloco, que é
(para baixo), e a força normal
da superfície (para cima). A força resultante vertical será:
No ponto Q, se não há aceleração na direção vertical (assumindo que o bloco está apenas mudando de direção horizontalmente), então a força resultante vertical é zero:
Então, a componente vertical da força resultante é zero, já que as forças se equilibram.
Passo 4
Vamos para a parte ©: Em que altura
o bloco deve ser liberado para que ele esteja prestes a perder contato com a pista no topo do looping?
Para o bloco estar no limite de perder o contato, a força normal
no topo do looping será zero. No topo do looping, a única força atuando é o peso
, que fornece a força centrípeta necessária:
Podemos simplificar a massa
:
Agora, aplicamos a conservação de energia. A energia potencial no ponto de liberamento é igual à energia cinética no topo do looping:
Substituindo
por
:
Então, a altura inicial
deve ser
para que o bloco esteja prestes a perder contato no topo do looping.
Passo 5
Finalmente, para a parte (d): Vamos fazer um gráfico da magnitude da força normal no topo do looping versus a altura inicial
, para
de
a
.
A força normal no topo do looping é dada por:
Usando a conservação de energia, a velocidade
em qualquer altura
pode ser expressa como:
Onde
é a velocidade inicial que depende da altura
. Resolvendo essas equações para diferentes valores de
e substituindo na expressão de
, podemos plotar
versus
de
a
.
Resposta
A magnitude da componente horizontal da força resultante no ponto Q é
, a componente vertical é zero, a altura inicial
deve ser
, e o gráfico de
versus
varia conforme calculado, mostrando que a força normal diminui com a altura inicial até o ponto crítico de
.
Exercícios relacionados
A rope is used to pull a 3.57 kg block at constant speed 4.06 m along a horizontal floor. The force on the block from the rope is 7.68 N and directed
above the horizontal. What are (a) the work done by the rope
A boy is initially seated on the top of a hemispherical ice mound of radius
. He begins to slide down the ice, with a negligible initial speed (Fig. 8-45). Approximate the ice as being frictionless. At what height does the boy lose contact with the ice?
Figure 8-32 shows a pendulum of length
. Its bob (which effectively has all the mass) has speed
when the cord makes an angle
with the vertical. (a) What is the speed of the bob when it is in its lowest position if
? What is the least value that
can have if the pendulum is to swing down and then up (b) to a horizontal position, and © to a vertical position with the cord remaining straight? (d) Do the answers to (b) and © increase, decrease, or remain the same if
is increased by a few degrees?
A 60 kg skier starts from rest at height
above the end of a ski-jump ramp (Fig. 8-35) and leaves the ramp at angle
. Neglect the effects of air resistance and assume the ramp is frictionless. (a) What is the maximum height
of his jump above the end of the ramp? (b) If he increased his weight by putting on a backpack, would
then be greater, less, or the same?