In Problem 6, what are the magnitudes of (a) the horizontal component and (b) the vertical component of the net force acting on the block at point Q? © At what height h should the block be released from rest so that it is on the verge of losing contact with the track at the top of the loop? (On the verge of losing contact means that the normal force on the block from the track has just then become zero.) (d) Graph the magnitude of the normal force on the block at the top of the loop versus initial height h, for the range h=0 to h=6 R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre forças em um bloco que está passando por um ponto Q em uma trajetória circular. A matéria envolvida aqui é a Dinâmica Circular, que estuda as forças e movimentos quando objetos se movem em trajetórias circulares. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar entender as componentes horizontal e vertical da força resultante que atua no bloco no ponto Q. Para a parte ©, vamos aplicar conceitos de energia e força centrípeta para encontrar a altura inicial h necessária. E na parte (d), vamos relacionar a força normal com a altura inicial para fazer o gráfico solicitado.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Qual é a magnitude da componente horizontal da força resultante no bloco no ponto Q?
No movimento circular, a força resultante que mantém o bloco na trajetória é a força centrípeta, que aponta para o centro da curva. A fórmula para a força centrípeta é:
Fc = mv^2R
Aqui, m é a massa do bloco, v é a velocidade no ponto Q, e R é o raio da curva. No ponto Q, vamos supor que a direção horizontal da força resultante é responsável por manter o movimento circular, então a componente horizontal da força resultante é igual à força centrípeta.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): Qual é a magnitude da componente vertical da força resultante no bloco no ponto Q?
A componente vertical da força resultante é a soma das forças na direção vertical. Temos o peso do bloco, que é mg (para baixo), e a força normal N da superfície (para cima). A força resultante vertical será:
Fv = N - mg
No ponto Q, se não há aceleração na direção vertical (assumindo que o bloco está apenas mudando de direção horizontalmente), então a força resultante vertical é zero:
N - mg = 0 Rightarrow N = mg
Então, a componente vertical da força resultante é zero, já que as forças se equilibram.

Passo 4

Vamos para a parte ©: Em que altura h o bloco deve ser liberado para que ele esteja prestes a perder contato com a pista no topo do looping?
Para o bloco estar no limite de perder o contato, a força normal N no topo do looping será zero. No topo do looping, a única força atuando é o peso mg, que fornece a força centrípeta necessária:
mg = mv^2R
Podemos simplificar a massa m:
g = v^2R Rightarrow v^2 = gR
Agora, aplicamos a conservação de energia. A energia potencial no ponto de liberamento é igual à energia cinética no topo do looping:
mgh = 12mv^2 + 2mgR
Substituindo v^2 por gR:
mgh = 12m(gR) + 2mgR gh = 12gR + 2gR h = 12R + 2R h = 2.5R
Então, a altura inicial h deve ser 2.5R para que o bloco esteja prestes a perder contato no topo do looping.

Passo 5

Finalmente, para a parte (d): Vamos fazer um gráfico da magnitude da força normal no topo do looping versus a altura inicial h, para h de 0 a 6R.
A força normal no topo do looping é dada por:
N = mv^2R - mg
Usando a conservação de energia, a velocidade v em qualquer altura h pode ser expressa como:
12mv0^2 = 12mv^2 + mg(2R)
Onde v0 é a velocidade inicial que depende da altura h. Resolvendo essas equações para diferentes valores de h e substituindo na expressão de N, podemos plotar N versus h de 0 a 6R.

Resposta

A magnitude da componente horizontal da força resultante no ponto Q é mv^2R, a componente vertical é zero, a altura inicial h deve ser 2.5R, e o gráfico de N versus h varia conforme calculado, mostrando que a força normal diminui com a altura inicial até o ponto crítico de 2.5R.

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