Figure 8-32 shows a pendulum of length L=1.25 m. Its bob (which effectively has all the mass) has speed v0 when the cord makes an angle theta0=40.0^circ with the vertical. (a) What is the speed of the bob when it is in its lowest position if v0=8.00 m / s? What is the least value that v0 can have if the pendulum is to swing down and then up (b) to a horizontal position, and © to a vertical position with the cord remaining straight? (d) Do the answers to (b) and © increase, decrease, or remain the same if theta0 is increased by a few degrees?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com comprimento L = 1,25 , m. A massa do pêndulo tem uma velocidade inicial v0 = 8,00 , m/s quando o fio faz um ângulo de theta0 = 40,0^circ com a vertical. Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e dinâmica do pêndulo para resolver as perguntas a seguir.

Passo 2

Primeiro, queremos encontrar a velocidade da massa quando ela está na posição mais baixa do pêndulo. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total no ponto inicial (quando o pêndulo está no ângulo theta0) é a soma da energia cinética e da energia potencial. Na posição mais baixa, toda a energia potencial será convertida em energia cinética.
A energia mecânica no ponto inicial é:
Einicial = 12 m v0^2 + m g h
onde h é a altura em relação à posição mais baixa.
Para encontrar h, usamos:
h = L - L cos theta0 = L (1 - cos theta0)
Então,
Einicial = 12 m v0^2 + m g L (1 - cos theta0)
Na posição mais baixa, a energia é só cinética:
Efinal = 12 m vbaixa^2
Igualando as energias:
12 m v0^2 + m g L (1 - cos theta0) = 12 m vbaixa^2
Podemos simplificar cancelando o m:
12 v0^2 + g L (1 - cos theta0) = 12 vbaixa^2
Resolvendo para vbaixa:
vbaixa = raizv0^2 + 2 g L (1 - cos theta0)
Agora, substituindo os valores:
vbaixa = raiz(8,00)^2 + 2 times 9,81 times 1,25 times (1 - cos 40^circ)
Calculando:
cos 40^circ approx 0,7660
vbaixa = raiz64 + 2 times 9,81 times 1,25 times (1 - 0,7660) approx raiz64 + 24,525 times 0,234 approx raiz64 + 5,737 approx raiz69,737 approx 8,35 , m/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor mínimo de v0 para que o pêndulo consiga descer e subir até uma posição horizontal. Para que o pêndulo alcance a posição horizontal, na parte mais alta dessa trajetória, a velocidade deve ser suficiente para que a força centrípeta seja igual ou maior que a componente do peso.
Na posição horizontal, a energia total será apenas a energia potencial:
Efinal = m g L
A energia inicial é:
Einicial = 12 m v0^2 + m g L (1 - cos theta0)
Igualando as energias:
12 m v0^2 + m g L (1 - cos theta0) = m g L
Simplificando:
12 v0^2 + g L (1 - cos theta0) = g L
12 v0^2 = g L cos theta0
v0 = raiz2 g L cos theta0
Substituindo os valores:
v0 = raiz2 times 9,81 times 1,25 times cos 40^circ approx raiz24,525 times 0,7660 approx raiz18,786 approx 4,33 , m/s

Passo 4

Para a parte (b), que pede o mínimo v0 para que o pêndulo suba até a posição horizontal, já calculamos: v0 approx 4,33 , m/s.

Passo 5

A parte © pergunta o mínimo v0 para que o pêndulo suba até uma posição vertical com o fio permanecendo reto. Isso significa que, no ponto mais alto, a velocidade tangencial deve ser zero para que o fio não estique além da posição vertical.
Usamos a mesma equação da parte (b):
v0 = raiz2 g L cos theta0 approx 4,33 , m/s
Portanto, o mínimo v0 é o mesmo que na parte (b).

Passo 6

Finalmente, na parte (d), perguntamos se os valores mínimos de v0 nas partes (b) e © aumentam, diminuem ou permanecem iguais se o ângulo inicial theta0 aumentar alguns graus.
Observando a fórmula:
v0 = raiz2 g L cos theta0
Vemos que cos theta0 diminui conforme theta0 aumenta. Portanto, o valor dentro da raiz diminui, o que faz com que v0 também diminua.

Resposta

(a) A velocidade da massa na posição mais baixa é aproximadamente 8,35 , m/s. O valor mínimo de v0 necessário para que o pêndulo consiga descer e subir até a posição horizontal é cerca de 4,33 , m/s. Nas partes (b) e ©, o mínimo v0 permanece o mesmo, e na parte (d), se o ângulo theta0 aumentar alguns graus, o valor mínimo de v0 diminui.

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