Figure 8-32 shows a pendulum of length . Its bob (which effectively has all the mass) has speed when the cord makes an angle with the vertical. (a) What is the speed of the bob when it is in its lowest position if ? What is the least value that can have if the pendulum is to swing down and then up (b) to a horizontal position, and © to a vertical position with the cord remaining straight? (d) Do the answers to (b) and © increase, decrease, or remain the same if is increased by a few degrees?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com comprimento . A massa do pêndulo tem uma velocidade inicial quando o fio faz um ângulo de com a vertical. Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e dinâmica do pêndulo para resolver as perguntas a seguir.

Passo 2

Primeiro, queremos encontrar a velocidade da massa quando ela está na posição mais baixa do pêndulo. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total no ponto inicial (quando o pêndulo está no ângulo ) é a soma da energia cinética e da energia potencial. Na posição mais baixa, toda a energia potencial será convertida em energia cinética.
A energia mecânica no ponto inicial é:
onde é a altura em relação à posição mais baixa.
Para encontrar , usamos:
Então,
Na posição mais baixa, a energia é só cinética:
Igualando as energias:
Podemos simplificar cancelando o :
Resolvendo para :
Agora, substituindo os valores:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor mínimo de para que o pêndulo consiga descer e subir até uma posição horizontal. Para que o pêndulo alcance a posição horizontal, na parte mais alta dessa trajetória, a velocidade deve ser suficiente para que a força centrípeta seja igual ou maior que a componente do peso.
Na posição horizontal, a energia total será apenas a energia potencial:
A energia inicial é:
Igualando as energias:
Simplificando:
Substituindo os valores:

Passo 4

Para a parte (b), que pede o mínimo para que o pêndulo suba até a posição horizontal, já calculamos: .

Passo 5

A parte © pergunta o mínimo para que o pêndulo suba até uma posição vertical com o fio permanecendo reto. Isso significa que, no ponto mais alto, a velocidade tangencial deve ser zero para que o fio não estique além da posição vertical.
Usamos a mesma equação da parte (b):
Portanto, o mínimo é o mesmo que na parte (b).

Passo 6

Finalmente, na parte (d), perguntamos se os valores mínimos de nas partes (b) e © aumentam, diminuem ou permanecem iguais se o ângulo inicial aumentar alguns graus.
Observando a fórmula:
Vemos que diminui conforme aumenta. Portanto, o valor dentro da raiz diminui, o que faz com que também diminua.

Resposta

(a) A velocidade da massa na posição mais baixa é aproximadamente . O valor mínimo de necessário para que o pêndulo consiga descer e subir até a posição horizontal é cerca de . Nas partes (b) e ©, o mínimo permanece o mesmo, e na parte (d), se o ângulo aumentar alguns graus, o valor mínimo de diminui.

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