In Fig. 8-40, a block of mass m=3.20 kg slides from rest a distance d down a frictionless incline at angle theta=30.0^circ where it runs into a spring of spring constant 431 N / m. When the block momentarily stops, it has compressed the spring by 21.0 cm. What are (a) distance d and (b) the distance between the point of the first block-spring contact and the point where the block

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um bloco de massa que desliza sem atrito por uma rampa inclinada de e comprime uma mola com constante elástica por 21,0 cm (ou 0,21 m) até parar. Precisamos descobrir:
a) A distância que o bloco percorre na rampa até comprimir a mola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica. A energia potencial gravitacional do bloco se transforma em energia potencial elástica da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Quando o bloco está no topo da rampa, sua energia é toda potencial gravitacional:
Epot = m cdot g cdot h
onde Emola = 12 k x^2 é a altura que o bloco desce.
Quando o bloco comprime a mola, essa energia se transforma na energia potencial armazenada na mola:
com .

Passo 3

Precisamos relacionar a altura h = d cdot sin(theta) com a distância m cdot g cdot d cdot sin(theta) = 12 k x^2 na rampa. Sabemos que:
Então, substituindo na equação da energia potencial:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para resolver d = 12 k x^2m cdot g cdot sin(theta) :
Agora, vamos substituir os valores:

Passo 5

Calculando o numerador:
12 cdot 431 , N/m cdot (0,21 , m)^2 = 12 cdot 431 cdot 0,0441 approx 9,51 , J
Calculando o denominador:
3,20 , kg cdot 9,81 , m/s^2 cdot sin(30,0^circ) = 3,20 cdot 9,81 cdot 0,5 approx 15,7 , N

Passo 6

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
d = 9,51 , J15,7 , N approx 0,606 , m

Resposta

A distância que o bloco percorre na rampa até comprimir a mola é aproximadamente 0,606 metros.

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