( 1,0 ponto) Dada a função f(x) = 4x^3 - x^4, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde f é crescente ou decrescente e os pontos de máximos e de mínimos do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo. Além disso, vamos encontrar os pontos onde ela atinge seus valores máximos e mínimos. Para isso, vamos usar o que a gente aprende de derivadas na matemática, que ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou descendo, a gente precisa calcular a derivada de . A derivada, que a gente chama de , mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando; se for negativa, está diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa derivada para facilitar a análise. Podemos fatorar:

Passo 5

Com a derivada simplificada, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada está definida para todo , então igualamos a zero:
Isso nos dá:

Passo 6

Esses valores de dividem a linha dos números em intervalos que a gente precisa testar para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Os intervalos são: , e .

Passo 7

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para ver o sinal da derivada:
  • Para , digamos :
ã
  • Para , digamos :
ã
  • Para , digamos :
ã

Passo 8

Analisando os sinais que encontramos:
  • Crescente em
  • Decrescente em

Passo 9

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Olhando para os pontos críticos:
  • Em :
    • A derivada não muda de sinal (fica positiva dos dois lados), então não é nem máximo nem mínimo.
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando que temos um ponto de máximo.
Calculando o valor de :

Resposta

A função é crescente para , decrescente para e tem um ponto de máximo no ponto .

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