( 1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde
é crescente ou decrescente e os pontos de máximos e de mínimos do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo. Além disso, vamos encontrar os pontos onde ela atinge seus valores máximos e mínimos. Para isso, vamos usar o que a gente aprende de derivadas na matemática, que ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou descendo, a gente precisa calcular a derivada de
. A derivada, que a gente chama de
, mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando; se for negativa, está diminuindo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa derivada para facilitar a análise. Podemos fatorar:
Passo 5
Com a derivada simplificada, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada está definida para todo
, então igualamos a zero:
Isso nos dá:
Passo 6
Esses valores de
dividem a linha dos números em intervalos que a gente precisa testar para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Os intervalos são:
,
e
.
Passo 7
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para ver o sinal da derivada:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 8
Analisando os sinais que encontramos:
- Crescente em
- Decrescente em
Passo 9
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Olhando para os pontos críticos:
-
Em
: - A derivada não muda de sinal (fica positiva dos dois lados), então não é nem máximo nem mínimo.
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa, indicando que temos um ponto de máximo.
Calculando o valor de
:
Resposta
A função
é crescente para
, decrescente para
e tem um ponto de máximo no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
(1,0 ponto) Mostre que a função
definida por
. é contínua em
.
(1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo ou para cima e o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
( 60 pontos) Resolva as equações diferenciais.