63 São dados três vetores em metros:
& d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k & d2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k & d3=2,0 i+3,0 j+1,0 k
Determine (a) d1 cdot(d2+d3), (b) d1 cdot(d2 times d3) e © d1 times(d2+d3).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três vetores em metros:
& d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k & d2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k & d3=2,0 i+3,0 j+1,0 k
A questão pede para calcular três operações envolvendo esses vetores:
(a) O produto escalar de d1 com a soma de d2 e d3.
(b) O produto escalar de d1 com o produto vetorial de d2 e d3.
© O produto vetorial de d1 com a soma de d2 e d3.
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores, calcular produto escalar e produto vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Calculando d1 cdot (d2 + d3)
Primeiro, vamos somar os vetores d2 e d3:
d2 + d3 = (-2,0 + 2,0)i + (-4,0 + 3,0)j + (2,0 + 1,0)k = 0,0i -1,0j +3,0k
Agora, o produto escalar entre d1 e essa soma:
d1 cdot (d2 + d3) = (-3,0)(0,0) + 3,0(-1,0) + 2,0(3,0) = 0 + (-3,0) + 6,0 = 3,0
Parte (b): Calculando d1 cdot (d2 times d3)
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial d2 times d3.
Para dois vetores a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k, o produto vetorial é dado por:
a times b = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k
Aplicando para d2 e d3:
d2 times d3 = [(-4,0)(1,0) - 2,0(3,0)]i - [(-2,0)(1,0) - 2,0(2,0)]j + [(-2,0)(3,0) - (-4,0)(2,0)]k
Simplificando:
d2 times d3 = (-4,0 -6,0)i - (-2,0 -4,0)j + (-6,0 +8,0)k = -10,0i +6,0j +2,0k
Agora, o produto escalar com d1:
d1 cdot (d2 times d3) = (-3,0)(-10,0) + 3,0(6,0) + 2,0(2,0) = 30,0 +18,0 +4,0 = 52,0
Parte ©: Calculando d1 times (d2 + d3)
Já calculamos d2 + d3 = 0,0i -1,0j +3,0k. Agora, vamos calcular o produto vetorial com d1.
Usando a fórmula do produto vetorial:
d1 times (d2 + d3) = d1 times S = (-3,0)i +3,0j +2,0k times 0,0i -1,0j +3,0k
Aplicando a fórmula:
d1 times S = [3,0 times 3,0 - 2,0 times (-1,0)]i - [(-3,0) times 3,0 - 2,0 times 0,0]j + [(-3,0) times (-1,0) - 3,0 times 0,0]k
Simplificando:
d1 times S = (9,0 +2,0)i - (-9,0 -0,0)j + (3,0 -0,0)k =11,0i +9,0j +3,0k

Resposta

(a) d1 cdot(d2+d3) = 3,0
(b) d1 cdot(d2 times d3) = 52,0
© d1 times(d2+d3) = 11,0i +9,0j +3,0k

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