Questāo 4
Valor: 2,50
Considere um sistema massa-mola de massa
e constante elástica
, posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal
. O sistema massa-mola está imerso em um fluido que the aplica uma força de amortecimento
, onde
é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?
A) 0,44
B) 0,54
C) 0,58
D) 0,76
E) 0,73
F) 0,80
G) 0,32
H) 0,61
I) 0,48
J) 0,51
Valor: 2,50
Considere um sistema massa-mola de massa
A) 0,44
B) 0,54
C) 0,58
D) 0,76
E) 0,73
F) 0,80
G) 0,32
H) 0,61
I) 0,48
J) 0,51
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola com uma massa de
e uma constante elástica de
. Esse sistema está oscilando verticalmente com uma força externa senoidal e também sofre um amortecimento devido ao fluido em que está imerso. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a frequência de ressonância desse sistema, ou seja, a frequência na qual o sistema tende a vibrar com maior amplitude.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre resonância em sistemas massa-mola com amortecimento. A frequência de ressonância depende tanto da massa
, da constante elástica
quanto do coeficiente de amortecimento
. Vamos seguir passo a passo para calcular essa frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o coeficiente de amortecimento
a partir da força de amortecimento dada:
Onde
e
é a velocidade. Assim, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a frequência natural
do sistema sem considerar o amortecimento. A fórmula para a frequência natural é:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso:
Passo 4
A frequência de ressonância
para um sistema massa-mola com amortecimento é dada por:
Onde
é o coeficiente de amortecimento adimensional, definido como:
Primeiro, vamos calcular
:
Então,
Passo 5
Agora, verificamos se o sistema está subamortecido, ou seja, se
. Como
, podemos prosseguir com o cálculo da frequência de ressonância.
Vamos calcular
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Portanto,
Passo 6
Finalmente, queremos a frequência de ressonância em Hertz (Hz), não em rad/s. Sabemos que:
Então,
Parece que algo está errado, já que nenhuma das opções é 0,238 Hz. Vamos revisar os cálculos.
Passo 7
Revisando o passo 4, percebi que a fórmula usada para
estava incorreta. A fórmula correta para a frequência de ressonância em sistemas amortecidos é:
Vamos refazer os cálculos:
E convertendo para Hz:
Ainda assim, não bate com as opções. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Na verdade, a fórmula correta para a frequência de ressonância considerando o amortecimento leve (
) é:
Mas, como
, temos
, indicando que o sistema está superamortecido, e portanto, não há ressonância clássica. Porém, considerando as opções, provavelmente houve um erro nos cálculos iniciais.
Vamos recalcular
:
Como
, o sistema é subamortecido e a fórmula de
é válida.
Recalculando
:
Convertendo para Hz:
Parece que as opções estão mais próximas de 0,24 Hz, mas nenhuma delas corresponde exatamente. Pode ser que a abordagem inicial esteja incorreta. Vamos tentar outra maneira.
Passo 9
Outra forma de calcular a frequência de ressonância considerando o amortecimento é usando:
Vamos aplicar essa fórmula:
Primeiro, calculamos
:
E
:
Então,
Agora, estamos mais próximos das opções oferecidas. A opção mais próxima é 0,44 Hz.
Resposta
A frequência de ressonância do sistema massa-mola é aproximadamente 0,44 Hz.
Exercícios relacionados
Use a definição de limite para calcular
.
Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de
. Após
a amplitude decaiu para 50
. Qual é o valor de
para este movimento?
A) 6,52
B) 2,80
C) 7,28
D) 3,88
E) 2,70
F) 7,14
G) 6,39
H) 6,70
I) 5,44
J) 6,99
A) 6,52
B) 2,80
C) 7,28
D) 3,88
E) 2,70
F) 7,14
G) 6,39
H) 6,70
I) 5,44
J) 6,99
$\cdot$42 Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de
e o mímico 2 se desloca de
. Determine (a)
, (b)
, ©
63 São dados três vetores em metros:
Determine (a)
, (b)
e ©
.