$$
\Delta K+\Delta U_{e}+\Delta U_{g}=0 Deéçãééçãááéçãçõçãé
\Delta U_{g}=m g \Delta y=-m g(L+d) Deééáé
\Delta U_{e}=\frac{1}{2} k d^{2}. Deõ
0+\frac{1}{2} k d^{2}-m g(L+d)=0$$
$$
\frac{1}{2} k d^{2}-m g L-m g d=0 Deçãé
d=17,9 \mathrm{~m} Deéãâ
h=45,0 \mathrm{~m}-42,9 \mathrm{~m}=2.1 \mathrm{~m}$$
(Resposta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de conservação de energia em física. Precisamos analisar as variações das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional da mulher que está saltando. Para isso, vamos usar as equações que relacionam essas energias e resolver a situação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo na equação representa:
De
Aqui:
  • De é a variação da energia cinética.
  • De é a variação da energia potencial elástica da corda.
  • De é a variação da energia potencial gravitacional da mulher.
A equação nos diz que a soma dessas variações é igual a zero, o que significa que a energia total é conservada no processo.

Passo 3

Segundo o enunciado, a mulher está parada tanto no ponto inicial quanto no ponto mais baixo do salto. Isso implica que a variação da energia cinética é zero:
De
Então, a equação fica:
0 + De

Passo 4

Vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional, De. Sabemos que:
De
Onde:
  • m é a massa da mulher,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • De é a variação da altura.
Do enunciado, a variação da altura é De, então:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação da energia potencial elástica, De. A energia potencial elástica de uma mola é dada por:
De
Onde:
  • k é a constante elástica da corda,
  • d é o alongamento da corda.

Passo 6

Substituindo De e De na equação da conservação de energia, temos:
0 + 12 k d^2 - m g (L + d) = 0
Simplificando:
12 k d^2 - m g L - m g d = 0

Passo 7

Essa é uma equação do segundo grau na variável d. Para resolver, podemos reorganizar a equação:
12 k d^2 - m g d - m g L = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
k d^2 - 2 m g d - 2 m g L = 0
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática a d^2 + b d + c = 0:
d = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde:
  • a = k,
  • b = -2 m g,
  • c = -2 m g L.

Passo 8

Aplicando os valores na fórmula:
d = 2 m g pm raiz(2 m g)^2 - 4 cdot k cdot (-2 m g L)2 k
Simplificando o discriminante:
raiz4 m^2 g^2 + 8 k m g L = 2 raizm^2 g^2 + 2 k m g L
Então:
d = 2 m g pm 2 raizm^2 g^2 + 2 k m g L2 k = m g pm raizm^2 g^2 + 2 k m g Lk
Desconsideramos a solução negativa, pois o alongamento d não pode ser negativo:
d = m g + raizm^2 g^2 + 2 k m g Lk

Passo 9

Após calcular o valor de d, encontramos que:
d = 17,9 , m
Isso significa que a corda elástica se alonga 17,9 metros no ponto mais baixo do salto.

Passo 10

Finalmente, para encontrar a distância dos pés da mulher em relação à altura inicial, somamos o comprimento original da corda L com o alongamento d:
L + d = 25,0 , m + 17,9 , m = 42,9 , m
A altura inicial da mulher é 45,0 metros, então a distância final h é:
h = 45,0 , m - 42,9 , m = 2,1 , m

Resposta

A distância final dos pés da mulher é 2,1 , metros abaixo da sua altura inicial.

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