& [67] integral-pi^pi sen(m x) cos (n x) d x=0 & [68] integral-pi^pi sen(m x) sen(n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n & [69] integral-pi^pi cos (m x) cos (n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n

Passo 1

Beleza, então a gente tem três integrais envolvendo senos e cossenos com frequências diferentes, e queremos entender por que elas dão zero ou π dependendo se os índices e são iguais ou não. O conteúdo aqui é sobre ortogonalidade de funções trigonométricas, que é super útil, por exemplo, na análise de Fourier. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar com a integral [67]:
integral-pi^pi sin(m x) cos(n x) , dx = 0
Por que isso acontece?
Primeiro, vamos lembrar que é uma função ímpar (isto é, ) e é uma função par (isto é, ). Quando você multiplica uma função ímpar por uma função par, o resultado é uma função ímpar.
Agora, pense na integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como . A área positiva de um lado cancela exatamente com a área negativa do outro lado, resultando em zero.
Então, essa integral dá zero porque estamos integrando uma função ��mpar em um intervalo simétrico.

Passo 3

Agora, vamos para a integral [68]:
integral-pi^pi sin(m x) sin(n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n
Como chegamos a isso?
A gente pode usar a identidade trigonométrica do produto de senos:
sin(m x) sin(n x) = 12 [cos((m - n)x) - cos((m + n)x)]
Então, a integral fica:
12 integral-pi^pi cos((m - n)x) - cos((m + n)x) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Quando 12 integral-pi^pi [cos(0) - cos(2n x)] , dx = 12 integral-pi^pi [1 - cos(2n x)] , dx :
    As funções 12 (2π - 0) = π e são ambas funções pares, e suas integrais sobre dão zero porque elas completam ciclos inteiros, resultando em áreas positivas e negativas que se cancelam.
    Portanto, a integral total é zero.
  2. Quando :
    A expressão se simplifica para:
    A integral de 1 de a é , e a integral de sobre é zero (já que é uma função par com ciclos completos).
    Então:
    Portanto, quando , a integral dá π.

Passo 4

Por último, vamos ver a integral [69]:
integral-pi^pi cos(m x) cos(n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n
Como resolver isso?
Usamos uma identidade trigonométrica similar à anterior, mas para produtos de cossenos:
cos(m x) cos(n x) = 12 [cos((m - n)x) + cos((m + n)x)]
Integrando, temos:
12 integral-pi^pi cos((m - n)x) + cos((m + n)x) , dx
Analisando cada caso:
  1. Quando 12 integral-pi^pi [cos(0) + cos(2n x)] , dx = 12 integral-pi^pi [1 + cos(2n x)] , dx :
    Ambas as funções 12 (2π + 0) = π e são pares e têm integrais iguais a zero sobre , pois completam ciclos inteiros.
    Logo, a integral total é zero.
  2. Quando :
    A expressão simplifica para:
    A integral de 1 de a é , e a integral de é zero.
    Então:
    Portanto, quando , a integral dá π.

Resposta

As tr��s integrais são iguais a zero quando integral-pi^pi sin(m x) cos(n x) , dx = 0 e a π quando integral-pi^pi sin(m x) sin(n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n , conforme mostrado:
integral-pi^pi cos(m x) cos(n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, e, 1) e^y^2 tg(x z)
Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por: y = raiz(4 - x), 3y = x e y = 0, em torno do eixo x.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = t i + j + 3 t^2 k
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0, infty) x^2 sen^2 yx^2+2 y^2