Passo 1
Beleza, então a gente tem três integrais envolvendo senos e cossenos com frequências diferentes, e queremos entender por que elas dão zero ou π dependendo se os índices
e
são iguais ou não. O conteúdo aqui é sobre ortogonalidade de funções trigonométricas, que é super útil, por exemplo, na análise de Fourier. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar com a integral [67]:
Por que isso acontece?
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função ímpar (isto é,
) e
é uma função par (isto é,
). Quando você multiplica uma função ímpar por uma função par, o resultado é uma função ímpar.
Agora, pense na integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como
. A área positiva de um lado cancela exatamente com a área negativa do outro lado, resultando em zero.
Então, essa integral dá zero porque estamos integrando uma função ��mpar em um intervalo simétrico.
Passo 3
Agora, vamos para a integral [68]:
Como chegamos a isso?
A gente pode usar a identidade trigonométrica do produto de senos:
Então, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Quando
: As funçõese são ambas funções pares, e suas integrais sobre dão zero porque elas completam ciclos inteiros, resultando em áreas positivas e negativas que se cancelam. Portanto, a integral total é zero. -
Quando
: A expressão se simplifica para:A integral de 1 dea é , e a integral de sobre é zero (já que é uma função par com ciclos completos). Então:Portanto, quando, a integral dá π.
Passo 4
Por último, vamos ver a integral [69]:
Como resolver isso?
Usamos uma identidade trigonométrica similar à anterior, mas para produtos de cossenos:
Integrando, temos:
Analisando cada caso:
-
Quando
: Ambas as funçõese são pares e têm integrais iguais a zero sobre , pois completam ciclos inteiros. Logo, a integral total é zero. -
Quando
: A expressão simplifica para:A integral de 1 dea é , e a integral de é zero. Então:Portanto, quando, a integral dá π.
Resposta
As tr��s integrais são iguais a zero quando
e a π quando
, conforme mostrado:
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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e
, em torno do eixo
.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.