Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0, infty) x^2 sen^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

Então, temos que calcular o limite de quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como se comportam o numerador e o denominador separadamente à medida que vai para 0 e vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: . Sabemos que sempre está entre 0 e 1, ou seja, . Assim, o numerador está limitado por .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Como está indo para infinito, domina e o denominador cresce sem limite.

Passo 4

Com isso, podemos escrever a seguinte desigualdade para a função:
0 <= x^2 sin^2 yx^2+2 y^2 <= x^22 y^2

Passo 5

Queremos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), que diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Passo 6

Vamos analisar o limite da função que está à direita da desigualdade:
lim(x, y) to (0, infty) x^22 y^2
Como vai para 0 e vai para infinito, se aproxima de 0 e se aproxima de infinito, então todo o quociente tende a 0.

Passo 7

Dessa forma, pelo Teorema do Aperto, já que:
0 <= x^2 sin^2 yx^2+2 y^2 <= x^22 y^2 e lim(x, y) to (0, infty) x^22 y^2 = 0
então:
lim(x, y) to (0, infty) x^2 sin^2 yx^2+2 y^2 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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