Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Então, temos que calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como se comportam o numerador e o denominador separadamente à medida que
vai para 0 e
vai para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
. Sabemos que
sempre está entre 0 e 1, ou seja,
. Assim, o numerador está limitado por
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Como
está indo para infinito,
domina e o denominador cresce sem limite.
Passo 4
Com isso, podemos escrever a seguinte desigualdade para a função:
Passo 5
Queremos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), que diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Passo 6
Vamos analisar o limite da função que está à direita da desigualdade:
Como
vai para 0 e
vai para infinito,
se aproxima de 0 e
se aproxima de infinito, então todo o quociente tende a 0.
Passo 7
Dessa forma, pelo Teorema do Aperto, já que:
então:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.