Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
e
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar cálculos de integrais, especificamente o método dos discos, que é perfeito para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se encontram. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.
Temos:
Vamos igualar as duas expressões para encontrar o ponto de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Isso nos dá duas soluções:
Como estamos trabalhando com
, o valor de
não pode ser menor que -
e menor ou igual a 4. Portanto, o ponto de interseção relevante é
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se interceptam em
, vamos determinar os limites de integração. A região que vamos girar está entre
e
.
Passo 4
Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Enicontre a curva parametrizada de a linha que passa pelo ponto
e tem a mesma direção do vetor
.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.