Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por: y = raiz(4 - x), 3y = x e y = 0, em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar cálculos de integrais, especificamente o método dos discos, que é perfeito para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se encontram. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.
Temos:
Vamos igualar as duas expressões para encontrar o ponto de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso nos dá duas soluções:
Como estamos trabalhando com , o valor de não pode ser menor que - e menor ou igual a 4. Portanto, o ponto de interseção relevante é .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se interceptam em , vamos determinar os limites de integração. A região que vamos girar está entre e .

Passo 4

Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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Enicontre a curva parametrizada de a linha que passa pelo ponto 3,0,-4 e tem a mesma direção do vetor i + 2j - k.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = (cos(2t), sen(2t), 1)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, e, 1) e^y^2 tg(x z)
& [67] integral-pi^pi sen(m x) cos (n x) d x=0 & [68] integral-pi^pi sen(m x) sen(n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n & [69] integral-pi^pi cos (m x) cos (n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n