Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar as curvas definidas pela função vetorial
. Vamos precisar entender um pouco sobre funções vetoriais e como elas descrevem curvas no espaço tridimensional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes individuais. Isso ajuda a entender como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro
. Para a função dada:
Podemos escrever:
Passo 3
Agora, observe que
significa que a coordenada y é sempre 1, independente do valor de
. Isso quer dizer que a curva inteira está dentro do plano
no espaço tridimensional. Então, nossa curva não vai se espalhar em todas as direções, apenas nesse plano específico.
Passo 4
Vamos relacionar as coordenadas
e
para entender a forma da curva. Como
, podemos substituir
na equação de
:
Então, temos a relação
. Isso é a equação de uma parábola que abre na direção positiva do eixo z, no plano
.
Resposta
A curva definida pela função vetorial
é uma parábola que se encontra no plano
e abre na direção positiva do eixo z, com a equação
.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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