Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = t i + j + 3 t^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar as curvas definidas pela função vetorial . Vamos precisar entender um pouco sobre funções vetoriais e como elas descrevem curvas no espaço tridimensional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes individuais. Isso ajuda a entender como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro . Para a função dada:
Podemos escrever:

Passo 3

Agora, observe que significa que a coordenada y é sempre 1, independente do valor de . Isso quer dizer que a curva inteira está dentro do plano no espaço tridimensional. Então, nossa curva não vai se espalhar em todas as direções, apenas nesse plano específico.

Passo 4

Vamos relacionar as coordenadas e para entender a forma da curva. Como , podemos substituir na equação de :
Então, temos a relação . Isso é a equação de uma parábola que abre na direção positiva do eixo z, no plano .

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma parábola que se encontra no plano e abre na direção positiva do eixo z, com a equação .

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