Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis:
,
e
. A questão pede para a gente encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e propriedades das funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas partes da expressão separadamente:
e
. Se ambas as funções forem contínuas no ponto
, então o limite do produto será o produto dos limites individuais.
Passo 3
Vamos ver
. A função exponencial é contínua em todo lugar, então podemos simplesmente substituir
por
:
Passo 4
Agora, vamos para
. A função tangente é contínua onde está definida, mas sabemos que ela tem assíntotas onde o cosseno é zero, ou seja, quando
para qualquer inteiro
. Vamos verificar se em
, o argumento de
fica em um ponto problemático:
Passo 5
Como
, temos:
Passo 6
Agora que sabemos os limites das duas partes, podemos multiplicá-los:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
e
, em torno do eixo
.
Enicontre a curva parametrizada de a linha que passa pelo ponto
e tem a mesma direção do vetor
.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.