Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, e, 1) e^y^2 tg(x z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: , e . A questão pede para a gente encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da expressão separadamente: e . Se ambas as funções forem contínuas no ponto , então o limite do produto será o produto dos limites individuais.

Passo 3

Vamos ver limy to e e^y^2 = e^e^2 . A função exponencial é contínua em todo lugar, então podemos simplesmente substituir por :

Passo 4

Agora, vamos para x z = pi cdot 1 = pi . A função tangente é contínua onde está definida, mas sabemos que ela tem assíntotas onde o cosseno é zero, ou seja, quando para qualquer inteiro . Vamos verificar se em , o argumento de fica em um ponto problemático:
não é da forma (com inteiro), portanto, está bem definida.

Passo 5

Como lim(x, y, z) to (pi, e, 1) tan(x z) = tan(pi) = 0 , temos:

Passo 6

Agora que sabemos os limites das duas partes, podemos multiplicá-los:
lim(x, y, z) to (pi, e, 1) e^y^2 cdot tan(x z) = e^e^2 cdot 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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