6a) .
6b) .
6c) .
6d) .
6e) .
6f) .
6g) .
6h) T: Pn(R) Pn(R), T(p)=p^prime, sendo p^prime a derivada do polinômio p.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão 6a. A gente tem uma transformação linear definida por que transforma um vetor em . O que a gente precisa descobrir aqui é se essa transformação é realmente linear ou não. Para isso, vamos lembrar dos critérios que uma transformação linear precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
(adição)
(homogeneidade)
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a transformação .
Passo 3
Vamos testar a primeira condição, a adição. Se escolhermos dois vetores qualquer, digamos T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2)^2, y1 + y2) e T(u) + T(v) = (x1^2, y1) + (x2^2, y2) = (x1^2 + x2^2, y1 + y2) , então:
Por outro lado:
Para que seja linear, precisamos que . Mas isso só acontece se , ou seja, se pelo menos um dos for zero. Como isso não é verdade para todos os vetores, a condição de adição não é satisfeita.
Passo 4
Já que a primeira condição falhou, não precisamos nem verificar a segunda condição, a homogeneidade. Isso já nos mostra que a transformação não é linear.