6a) T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x^2, y).
6b) T: R^3 R^3, T(x, y)=(x+y, x, 0).
6c) T: R^3 R^ SI , T(x, y, z)=2 x-3 y+4 z.
6d) T: V V, T(v)=-v.
6e) T: R^2 M2(R), T(x, y)=(ccx+2 y & 0 1 & y).
6f) T: P3(R) M2(R), T(x t^3+y t^2+z t+w)=(ccx+y & y -z & w+z).
6g) T: M3 times 2(R) R^2, T(lla & b c & d e & f)=(-a+c, b+c).
6h) T: Pn(R) Pn(R), T(p)=p^prime, sendo p^prime a derivada do polinômio p.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão 6a. A gente tem uma transformação linear definida por que transforma um vetor em . O que a gente precisa descobrir aqui é se essa transformação é realmente linear ou não. Para isso, vamos lembrar dos critérios que uma transformação linear precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. (adição)
  2. (homogeneidade)
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a transformação .

Passo 3

Vamos testar a primeira condição, a adição. Se escolhermos dois vetores qualquer, digamos T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2)^2, y1 + y2) e T(u) + T(v) = (x1^2, y1) + (x2^2, y2) = (x1^2 + x2^2, y1 + y2) , então:
Por outro lado:
Para que seja linear, precisamos que . Mas isso só acontece se , ou seja, se pelo menos um dos for zero. Como isso não é verdade para todos os vetores, a condição de adição não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira condição falhou, não precisamos nem verificar a segunda condição, a homogeneidade. Isso já nos mostra que a transformação não é linear.

Resposta

A transformação não é linear.

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