Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz dada. Basicamente, autovalores são números que mostram como uma transformação afeta certos vetores especiais, e os autoespaços são os conjuntos desses vetores. Para isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores. Para uma matriz quadrada, os autovalores são os valores de que satisfazem a equação det(A - \lambda I) = 0, onde é a matriz identidade. No caso da nossa matriz ser diagonal, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Nossa matriz é:
Como ela é diagonal, os autovalores são: , , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. O autoespaço de um autovalor é o conjunto de todos os vetores tal que . Para matrizes diagonais, isso significa que cada autovalor está associado a um vetor com 1 na posição correspondente e 0 nas outras.
Para :
Os vetores são da forma e .
Para :
O vetor é .
Para :
O vetor é .
Resposta
Os autovalores da matriz são , e . Os autoespaços correspondentes são: