Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar os autovalores (valores próprios) e os autoespaços (espaços próprios) da matriz dada:
Para isso, vamos precisar saber como calcular valores próprios e depois os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, usamos a equação característica:
Onde é a matriz dada, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar :

[
A - \lambda I =


]

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de :
Esse determinante é fácil de calcular porque a matriz é triangular (toda a parte abaixo da diagonal principal é zero).

Passo 5

Para matrizes triangulares, o determinante é só o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Encontramos que o unico autovalor é . Agora, vamos achar os vetores próprios correspondentes a esse autovalor.

Passo 7

Para achar os vetores próprios, resolvemos a equação:
Como , temos:
Onde

Passo 8

Vamos montar o sistema de equações:

[


]
Isso nos dá:

Passo 9

Simplificando as equações, temos:
Isso significa que e , mas pode ser qualquer número real.

Passo 10

Portanto, os vetores próprios são da forma:
Onde é um número real qualquer.

Resposta

O único autovalor é e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras:

Exercícios relacionados

Encontre a equação característica de cada matriz:
Considere A A uma matriz 2 x 2. Se e , quais são os autovalores de ?
Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
6a) .
6b) .
6c) .
6d) .
6e) .
6f) .
6g) .
6h) , sendo a derivada do polinômio .