Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar os autovalores (valores próprios) e os autoespaços (espaços próprios) da matriz dada:
Para isso, vamos precisar saber como calcular valores próprios e depois os vetores próprios correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, usamos a equação característica:
Onde é a matriz dada, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos montar :
[
A - \lambda I =
]
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de :
Esse determinante é fácil de calcular porque a matriz é triangular (toda a parte abaixo da diagonal principal é zero).
Passo 5
Para matrizes triangulares, o determinante é só o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Encontramos que o unico autovalor é . Agora, vamos achar os vetores próprios correspondentes a esse autovalor.
Passo 7
Para achar os vetores próprios, resolvemos a equação:
Como , temos:
Onde
Passo 8
Vamos montar o sistema de equações:
[
]
Isso nos dá:
Passo 9
Simplificando as equações, temos:
Isso significa que e , mas pode ser qualquer número real.
Passo 10
Portanto, os vetores próprios são da forma:
Onde é um número real qualquer.
Resposta
O único autovalor é e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras: