Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar os autovalores (valores próprios) e os autoespaços (espaços próprios) da matriz dada:
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Para isso, vamos precisar saber como calcular valores próprios e depois os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, usamos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz dada, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar A - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 1 0 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda :

[
A - \lambda I =


]

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda :
Esse determinante é fácil de calcular porque a matriz é triangular (toda a parte abaixo da diagonal principal é zero).

Passo 5

Para matrizes triangulares, o determinante é só o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Então, a equação característica fica:
-lambda^3 = 0 implies lambda^3 = 0 implies lambda = 0

Passo 6

Encontramos que o unico autovalor é . Agora, vamos achar os vetores próprios correspondentes a esse autovalor.

Passo 7

Para achar os vetores próprios, resolvemos a equação:
(A - lambda I)v = 0
Como Av = 0 , temos:
v1 v2 v3
Onde

Passo 8

Vamos montar o sistema de equações:

[
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0


]
Isso nos dá:

Passo 9

Simplificando as equações, temos:
v2 = 0 v3 = 0 0 = 0
Isso significa que e , mas pode ser qualquer número real.

Passo 10

Portanto, os vetores próprios são da forma:
v = v1 0 0 = v1 1 0 0
Onde é um número real qualquer.

Resposta

O único autovalor é v1 0 0 e o autoespaço correspondente é o conjunto de todos os vetores da forma lambda = 0 e E0 = v1 0 0 mid v1 in R , onde é um número real. Em outras palavras:

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