Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e os autoespaços da matriz dada:
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender como uma transformação linear (representada por essa matriz) age no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é obtida subtraindo vezes a matriz identidade da matriz dada e calculando o determinante:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar o determinante passo a passo:
Calcular os determinantes das menores:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Expandir:
Distribuir :
Somar os termos semelhantes:
Então, a equação característica é:
Passo 5
Vamos resolver a equação cúbica para encontrar os autovalores:
Podemos multiplicar a equação por para facilitar:
Vamos tentar encontrar uma raiz inteira usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores de 10:
Testando :
Testando :
Testando :
Então, é um autovalor.
Passo 6
Agora que encontramos como um autovalor, vamos fatorar a equação característica usando a raiz encontrada:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor. Começamos com .
Substituindo na matriz :
Vamos resolver o sistema .
Escrevendo as equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, o vetor próprio é:
Então, o autoespaço associado a é gerado pelo vetor .
Resposta
Os autovalores da matriz são , e . O autoespaço correspondente a é o conjunto de vetores da forma , onde é um escalar.