Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
[ccc4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e os autoespaços da matriz dada:
4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1
Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender como uma transformação linear (representada por essa matriz) age no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é obtida subtraindo lambda vezes a matriz identidade da matriz dada e calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 4 - lambda & -5 & 1 1 & -lambda & -1 0 & 1 & -1 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(-lambda)(-1 - lambda) - (-1)(1)] - (-5)[1(-1 - lambda) - (-1)(0)] + 1[1 cdot 1 - (-lambda)(0)]

Passo 4

Vamos simplificar o determinante passo a passo:
  1. Calcular os determinantes das menores:
    • Primeiro termo: (4 - lambda)[lambda(1 + lambda) + 1]
    • Segundo termo: -(-5)[-1 - lambda] = 5(1 + lambda)
    • Terceiro termo: 1[1 - 0] = 1
  2. Expandir:
    (4 - lambda)(lambda^2 + lambda + 1) + 5lambda + 5 + 1
  3. Distribuir (4 - lambda):
    4lambda^2 + 4lambda + 4 - lambda^3 - lambda^2 - lambda + 5lambda + 5 + 1
  4. Somar os termos semelhantes:
    -lambda^3 + 3lambda^2 + 8lambda + 10
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 3lambda^2 + 8lambda + 10 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação cúbica para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 3lambda^2 + 8lambda + 10 = 0
Podemos multiplicar a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda^2 - 8lambda - 10 = 0
Vamos tentar encontrar uma raiz inteira usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores de 10:
Testando lambda = 2:
2^3 - 3(2)^2 - 8(2) - 10 = 8 - 12 - 16 - 10 = -30 neq 0
Testando lambda = -1:
(-1)^3 - 3(-1)^2 - 8(-1) - 10 = -1 - 3 + 8 - 10 = -6 neq 0
Testando lambda = 5:
5^3 - 3(5)^2 - 8(5) - 10 = 125 - 75 - 40 - 10 = 0
Então, lambda = 5 é um autovalor.

Passo 6

Agora que encontramos lambda = 5 como um autovalor, vamos fatorar a equação característica usando a raiz encontrada:
lambda^3 - 3lambda^2 - 8lambda - 10 = (lambda - 5)(lambda^2 + 2lambda + 2) = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 + 2lambda + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(2)2(1) = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i
Portanto, os autovalores são lambda = 5, lambda = -1 + i e lambda = -1 - i.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor. Começamos com lambda = 5.
Substituindo na matriz A - lambda I:
A - 5I = -1 & -5 & 1 1 & -5 & -1 0 & 1 & -6
Vamos resolver o sistema (A - 5I)v = 0.
Escrevendo as equações:
  1. -v1 - 5v2 + v3 = 0
  2. v1 - 5v2 - v3 = 0
  3. v2 - 6v3 = 0
Da terceira equação: v2 = 6v3
Substituindo v2 na primeira equação:
-v1 - 5(6v3) + v3 = -v1 - 30v3 + v3 = -v1 - 29v3 = 0 Rightarrow v1 = -29v3
Então, o vetor próprio é:
v = -29v3 6v3 v3 = v3 -29 6 1
Então, o autoespaço associado a lambda = 5 é gerado pelo vetor -29 6 1 .

Resposta

Os autovalores da matriz são lambda = 5, lambda = -1 + i e lambda = -1 - i. O autoespaço correspondente a lambda = 5 é o conjunto de vetores da forma v -29 6 1 , onde v é um escalar.

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