W1=(x, y, z) in R^3 ; x=y, W2=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z e W3=(x, y, z) in R^3 ; x=y-z
I. Determine:
1a) W1 cap W2.
1b) W1 cap W3.
II. Verifique que:
2a) W1 cup W2 é subespaço de R^3.
2b) W1 cup W3 não é subespaço de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de subespaços em R^3 e envolve interseções e uniões de conjuntos. Precisamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, interseções e uniões. Para isso, vamos lembrar que um subespaço de R^3 deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os conjuntos W1, W2 e W3:
  • W1 = (x, y, z) in R^3 ; x = y: Todos os vetores onde as primeiras duas coordenadas são iguais.
  • W2 = (x, y, z) in R^3 ; x = y = z: Todos os vetores onde as três coordenadas são iguais.
  • W3 = (x, y, z) in R^3 ; x = y - z: Vetores onde a primeira coordenada é igual à segunda menos a terceira.

Passo 3

Vamos resolver a parte I.1a: W1 cap W2, ou seja, a interseção de W1 e W2. Isso significa encontrar todos os vetores que estão em W1 E em W2 ao mesmo tempo.
Em W1, temos que x = y. Em W2, temos que x = y = z. Então, para estar nos dois conjuntos, devemos ter:
x = y = z
Portanto, a interseção W1 cap W2 é o conjunto de todos os vetores onde todas as três coordenadas são iguais.

Passo 4

Agora, vamos para a parte I.1b: W1 cap W3. Queremos encontrar os vetores que estão em W1 E em W3.
Em W1, x = y. Em W3, x = y - z. Substituindo x = y na equação de W3:
y = y - z
Isso simplifica para:
0 = -z implies z = 0
Então, os vetores na interseção devem satisfazer x = y e z = 0.

Passo 5

Agora, vamos para a parte II.2a: Verificar se W1 cup W2 é um subespaço de R^3.
Para um conjunto ser subespaço, ele deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Primeiro, o vetor zero (0,0,0) está em W1 porque 0 = 0. Também está em W2 porque 0 = 0 = 0.
Agora, vamos verificar a adição. Pegue dois vetores de W1 cup W2. Se ambos estiverem em W1 ou ambos em W2, a soma estará no mesmo conjunto. Porém, se um estiver em W1 e outro em W2, a soma pode não estar em nenhum dos dois conjuntos. Por exemplo:
(1,1,2) in W1 porque 1 = 1, e (1,1,1) in W2 porque 1 = 1 = 1.
A soma é (2,2,3). Verificamos:
  • Em W1: 2 = 2, então pertence a W1.
  • Em W2: 2 neq 2 neq 3, então não pertence a W2.
Assim, nesse caso, a soma está em W1 cup W2.
Entretanto, se tomarmos (1,1,1) in W2 e (2,2,3) in W1 cup W2, a soma seria , que está apenas em (3,3,4. Embora isso pareça funcionar, devemos considerar todos os casos possíveis. Na verdade, em qualquer caso, a união de dois subespaços que não estão contidos um no outro não é necessariamente um subespaço. Portanto, a verificação inicial sugere que poderia ser um subespaço, mas levando em conta diferentes combinações, percebemos que pode não ser fechado para todas as adições e multiplicações por escalar.

Passo 6

Vamos corrigir a análise de II.2a. Realmente, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço, a menos que um seja contido no outro. No nosso caso, W2 subset W1 porque todo vetor em W2 satisfaz x = y = z, o que implica x = y. Então, a união W1 cup W2 é simplesmente W1, já que W2 está completamente dentro de W1.
Como W1 é um subespaço, a união W1 cup W2 também é um subespaço.

Passo 7

Agora, vamos para a parte II.2b: Verificar se W1 cup W3 é um subespaço de R^3.
Para isso, vamos verificar se a união contém o vetor zero, está fechada para adição e para multiplicação por escalar.
O vetor zero está em ambos W1 e W3. Agora, vamos verificar a adição. Tomemos um vetor em W1, por exemplo, (1,1,0), e um vetor em W3, por exemplo, (1,1- z, z) com z=0, então (1,1,0) também está em W1. Vamos escolher outro vetor em W3 com z neq 0, por exemplo, (2,2-1,1) = (2,1,1).
A soma seria (1,1,0) + (2,1,1) = (3,2,1). Vamos verificar se está em W1 ou em W3:
  • Em W1: 3 neq 2 → Não está em W1.
  • Em W3: 3 = 2 - 1 → Sim, está em W3.
Agora, outro exemplo: (1,1,0) + (1,0,1) = (2,1,1)
  • Em W1: 2 neq 1 → Não está em W1.
  • Em W3: 2 = 1 - 1 2 = 0 → Falso.
Então, a soma não está em nenhum dos conjuntos, o que significa que a união W1 cup W3 não é fechada para adição. Portanto, não é um subespaço de R^3.

Resposta

1a) W1 cap W2 = , (x, x, x) in R^3 ,
1b) W1 cap W3 = , (x, x, 0) in R^3 ,
2a) W1 cup W2 é um subespaço de R^3
2b) W1 cup W3 não é um subespaço de R^3

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