I. Determine:
1a) .
1b) .
II. Verifique que:
2a) é subespaço de .
2b) não é subespaço de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de subespaços em e envolve interseções e uniões de conjuntos. Precisamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, interseções e uniões. Para isso, vamos lembrar que um subespaço de deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os conjuntos , e :
  • : Todos os vetores onde as primeiras duas coordenadas são iguais.
  • : Todos os vetores onde as três coordenadas são iguais.
  • : Vetores onde a primeira coordenada é igual à segunda menos a terceira.

Passo 3

Vamos resolver a parte I.1a: , ou seja, a interseção de e . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em E em ao mesmo tempo.
Em , temos que . Em , temos que . Então, para estar nos dois conjuntos, devemos ter:
Portanto, a interseção é o conjunto de todos os vetores onde todas as três coordenadas são iguais.

Passo 4

Agora, vamos para a parte I.1b: . Queremos encontrar os vetores que estão em E em .
Em , . Em , . Substituindo na equação de :
Isso simplifica para:
Então, os vetores na interseção devem satisfazer e .

Passo 5

Agora, vamos para a parte II.2a: Verificar se é um subespaço de .
Para um conjunto ser subespaço, ele deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Primeiro, o vetor zero está em porque . Também está em porque .
Agora, vamos verificar a adição. Pegue dois vetores de . Se ambos estiverem em ou ambos em , a soma estará no mesmo conjunto. Porém, se um estiver em e outro em , a soma pode não estar em nenhum dos dois conjuntos. Por exemplo:
porque , e porque .
A soma é . Verificamos:
  • Em : , então pertence a .
  • Em : , então não pertence a .
Assim, nesse caso, a soma está em .
Entretanto, se tomarmos e , a soma seria , que está apenas em . Embora isso pareça funcionar, devemos considerar todos os casos possíveis. Na verdade, em qualquer caso, a união de dois subespaços que não estão contidos um no outro não é necessariamente um subespaço. Portanto, a verificação inicial sugere que poderia ser um subespaço, mas levando em conta diferentes combinações, percebemos que pode não ser fechado para todas as adições e multiplicações por escalar.

Passo 6

Vamos corrigir a análise de II.2a. Realmente, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço, a menos que um seja contido no outro. No nosso caso, porque todo vetor em satisfaz , o que implica . Então, a união é simplesmente , já que está completamente dentro de .
Como é um subespaço, a união também é um subespaço.

Passo 7

Agora, vamos para a parte II.2b: Verificar se é um subespaço de .
Para isso, vamos verificar se a união contém o vetor zero, está fechada para adição e para multiplicação por escalar.
O vetor zero está em ambos e . Agora, vamos verificar a adição. Tomemos um vetor em , por exemplo, , e um vetor em , por exemplo, com , então também está em . Vamos escolher outro vetor em com , por exemplo, .
A soma seria . Vamos verificar se está em ou em :
  • Em : → Não está em .
  • Em : → Sim, está em .
Agora, outro exemplo:
  • Em : → Não está em .
  • Em : → Falso.
Então, a soma não está em nenhum dos conjuntos, o que significa que a união não é fechada para adição. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

1a)
1b)
2a) é um subespaço de
2b) não é um subespaço de

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6a) .
6b) .
6c) .
6d) .
6e) .
6f) .
6g) .
6h) , sendo a derivada do polinômio .
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