I. Determine:
1a)
.
1b)
.
II. Verifique que:
2a)
é subespaço de
.
2b)
não é subespaço de
.
1a)
1b)
II. Verifique que:
2a)
2b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de subespaços em
e envolve interseções e uniões de conjuntos. Precisamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, interseções e uniões. Para isso, vamos lembrar que um subespaço de
deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os conjuntos
,
e
:
-
: Todos os vetores onde as primeiras duas coordenadas são iguais. -
: Todos os vetores onde as três coordenadas são iguais. -
: Vetores onde a primeira coordenada é igual à segunda menos a terceira.
Passo 3
Vamos resolver a parte I.1a:
, ou seja, a interseção de
e
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão em
E em
ao mesmo tempo.
Em
, temos que
. Em
, temos que
. Então, para estar nos dois conjuntos, devemos ter:
Portanto, a interseção
é o conjunto de todos os vetores onde todas as três coordenadas são iguais.
Passo 4
Agora, vamos para a parte I.1b:
. Queremos encontrar os vetores que estão em
E em
.
Em
,
. Em
,
. Substituindo
na equação de
:
Isso simplifica para:
Então, os vetores na interseção devem satisfazer
e
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte II.2a: Verificar se
é um subespaço de
.
Para um conjunto ser subespaço, ele deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Primeiro, o vetor zero
está em
porque
. Também está em
porque
.
Agora, vamos verificar a adição. Pegue dois vetores de
. Se ambos estiverem em
ou ambos em
, a soma estará no mesmo conjunto. Porém, se um estiver em
e outro em
, a soma pode não estar em nenhum dos dois conjuntos. Por exemplo:
A soma é
. Verificamos:
- Em
: , então pertence a . - Em
: , então não pertence a .
Assim, nesse caso, a soma está em
.
Entretanto, se tomarmos
e
, a soma seria , que está apenas em
. Embora isso pareça funcionar, devemos considerar todos os casos possíveis. Na verdade, em qualquer caso, a união de dois subespaços que não estão contidos um no outro não é necessariamente um subespaço. Portanto, a verificação inicial sugere que poderia ser um subespaço, mas levando em conta diferentes combinações, percebemos que pode não ser fechado para todas as adições e multiplicações por escalar.
Passo 6
Vamos corrigir a análise de II.2a. Realmente, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço, a menos que um seja contido no outro. No nosso caso,
porque todo vetor em
satisfaz
, o que implica
. Então, a união
é simplesmente
, já que
está completamente dentro de
.
Como
é um subespaço, a união
também é um subespaço.
Passo 7
Agora, vamos para a parte II.2b: Verificar se
é um subespaço de
.
Para isso, vamos verificar se a união contém o vetor zero, está fechada para adição e para multiplicação por escalar.
O vetor zero está em ambos
e
. Agora, vamos verificar a adição. Tomemos um vetor em
, por exemplo,
, e um vetor em
, por exemplo,
com
, então
também está em
. Vamos escolher outro vetor em
com
, por exemplo,
.
A soma seria
. Vamos verificar se está em
ou em
:
- Em
: → Não está em . - Em
: → Sim, está em .
Agora, outro exemplo:
- Em
: → Não está em . - Em
: → → Falso.
Então, a soma não está em nenhum dos conjuntos, o que significa que a união
não é fechada para adição. Portanto, não é um subespaço de
.
Resposta
1a)
1b)
2a)
é um subespaço de
2b)
não é um subespaço de