6a) integral e^-theta cos (2 theta), d theta

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral . Aqui, vamos mexer com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que é ótima para esse tipo de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é . Então, a gente precisa escolher qual parte da nossa expressão vai ser e qual vai ser . Vamos deixar e .

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar . Derivando , temos . Integrando , obtemos , porque a integral de é .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: e^-theta cdot 12sin(2theta) - integral 12sin(2theta) cdot (-e^-theta), dtheta . Substituindo os valores, fica:
12 e^-theta sin(2theta) + 12 integral e^-theta sin(2theta), dtheta
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral . Vamos aplicar integração por partes de novo. Desta vez, deixamos e .

Passo 6

Derivando , temos . Integrando , obtemos .

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^-theta sin(2theta), dtheta = u v - integral v, du = e^-theta cdot (-12cos(2theta)) - integral (-12cos(2theta)) cdot (-e^-theta), dtheta
Simplificando:
-12 e^-theta cos(2theta) - 12 integral e^-theta cos(2theta), dtheta

Passo 8

Voltando ao passo 4, substituímos a nova integral:
12 e^-theta sin(2theta) + 12 ( -12 e^-theta cos(2theta) - 12 integral e^-theta cos(2theta), dtheta )
Distribuindo:
12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) - 14 integral e^-theta cos(2theta), dtheta

Passo 9

Vamos chamar a integral original de I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) - 14 I . Então, temos:
I + 14 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta)
Agora, somamos 54 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) em ambos os lados:

Passo 10

Finalmente, isolamos I = 45 ( 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) ) + C :
I = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C
Simplificando:

Resposta

integral e^-theta cos(2 theta), dtheta = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C

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