Resolva as inequações:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação que é assim:
Aqui, estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar encontrar o domínio da inequação, simplificar as frações e analisar os sinais das expressões envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da inequação. O domínio são os valores de
que não deixam nenhum denominador igual a zero, porque não dá para dividir por zero. Então, vamos encontrar onde os denominadores
e
são diferentes de zero:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a inequação. Primeiro, trazemos tudo para um lado da desigualdade para facilitar a comparação:
Para subtrair frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será
. Então, vamos reescrever cada fração com esse denominador:
Passo 4
Agora que temos o denominador comum, podemos unir as frações:
Vamos simplificar o numerador. Primeiro, expandimos as multiplicações:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a inequação fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa inequação. Vamos identificar onde o numerador e o denominador mudam de sinal, ou seja, onde são iguais a zero:
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Para o numerador, resolver
pode ser complicado, mas vamos observar que não há raízes reais simples. Portanto, o numerador é sempre positivo, já que para
grandes ou pequenos, o termo
domina.
Passo 6
Com isso, a inequação
será negativa quando o denominador for negativo, já que o numerador é sempre positivo.
Vamos analisar o denominador
:
-
Quando
: -
-
- Produto: negativo
-
-
Quando
: -
-
- Produto: positivo
-
-
Quando
: -
-
- Produto: negativo
-
Passo 7
Queremos onde a fração é negativa, então:
-
→ negativo -
→ positivo -
→ negativo
Mas lembrando que
e
pois estão fora do domínio.
Resposta
A solução da inequação é
ou
.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações:
(a)
(a)
Efetue as operações indicadas:
(a)
(a)
Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(j)
(j)
6a)