Resolva para
e represente a solução na reta numérica
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar dividir o problema em casos dependendo dos valores de
, para lidar com os valores absolutos de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. As expressões são
e
.
-
faz mudar. -
quando ou .
Então, nossos pontos críticos são
e
. Isso nos divide a reta dos números reais em três intervalos para analisar separadamente:
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Intervalo 1:
-
(porque é negativo) -
. Para , , então (produto de dois negativos é positivo). Assim, .
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Intervalo 2:
-
-
. Para , , então . Assim, .
Substituindo na desigualdade:
Intervalo 3:
-
-
. Para , , então . Assim, .
Substituindo na desigualdade:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.
Intervalo 2:
(Vamos começar por esse intervalo para simplificar)
A desigualdade ficou:
Primeiro, simplificamos as expressões:
E:
Então, a desigualdade fica:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores (lembre que
e
nesse intervalo, então não mudamos o sentido da desigualdade):
Simplificando:
Distribuindo e simplificando:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Resolver essa desigualdade cúbica pode ser complicado, então vamos analisar graficamente ou testar valores dentro do intervalo
. Por exemplo:
- Para
:
Portanto, a desigualdade é verdadeira para
.
Passo 5
Vamos verificar os outros intervalos.
Intervalo 1:
A desigualdade ficou complicada para resolver analiticamente, mas notamos que para
, os termos
e
são positivos, enquanto
é negativo. Portanto, a soma dos termos positivos será sempre maior que um termo negativo, o que satisfaz a desigualdade para todo
.
Intervalo 3:
A desigualdade ficou:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
(note que
, então
):
Distribuindo e simplificando:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Fatorando:
Como
sempre, temos:
Como estamos no intervalo
, a solução é
.
Resposta
A solução da desigualdade é
ou
ou
. Representando na reta numérica:
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(i)
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(a)
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6a)
Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:
(a)
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