Resolva para e represente a solução na reta numérica
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar dividir o problema em casos dependendo dos valores de , para lidar com os valores absolutos de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. As expressões são e .
  • faz mudar.
  • quando ou .
Então, nossos pontos críticos são e . Isso nos divide a reta dos números reais em três intervalos para analisar separadamente:

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Intervalo 1:
  • (porque é negativo)
  • . Para , , então (produto de dois negativos é positivo). Assim, .
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Intervalo 2:
  • . Para , , então . Assim, .
Substituindo na desigualdade:
Intervalo 3:
  • . Para , , então . Assim, .
Substituindo na desigualdade:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.
Intervalo 2: (Vamos começar por esse intervalo para simplificar)
A desigualdade ficou:
Primeiro, simplificamos as expressões:
E:
Então, a desigualdade fica:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar os denominadores (lembre que e nesse intervalo, então não mudamos o sentido da desigualdade):
Simplificando:
Distribuindo e simplificando:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Resolver essa desigualdade cúbica pode ser complicado, então vamos analisar graficamente ou testar valores dentro do intervalo . Por exemplo:
  • Para :
Portanto, a desigualdade é verdadeira para .

Passo 5

Vamos verificar os outros intervalos.
Intervalo 1:
A desigualdade ficou complicada para resolver analiticamente, mas notamos que para , os termos e são positivos, enquanto é negativo. Portanto, a soma dos termos positivos será sempre maior que um termo negativo, o que satisfaz a desigualdade para todo .
Intervalo 3:
A desigualdade ficou:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por (note que , então ):
Distribuindo e simplificando:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Fatorando:
Como sempre, temos:
Como estamos no intervalo , a solução é .

Resposta

A solução da desigualdade é ou ou . Representando na reta numérica:

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(i)
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(a)
6a)
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(a)