d x / d t = x(1,5 - 0,5 x - y)
dy/dt = y(0.75 - y - 0.125 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas populações, e , mudam ao longo do tempo. A matéria aqui é sobre sistemas dinâmicos e equilíbrio de sistemas. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os pontos onde as populações não mudam mais, ou seja, os pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar os pontos de equilíbrio, a gente precisa igualar as duas equações a zero. Isso porque, no equilíbrio, as taxas de variação e são zero.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada equação separadamente.
Para a primeira equação:
Isso acontece quando ou quando .
Para a segunda equação:
Aqui, ou .

Passo 4

Vamos analisar os casos:
  1. Caso :
    • Substituindo na segunda equação: Assim, ou .
    • Então, temos dois pontos de equilíbrio:
  2. Caso :
    • Podemos reescrever como .
    • Substituindo na segunda equação:
      Substituindo :
      Simplificando:
      Igualando a zero:
    • Encontrando para cada :
      • Para :
        Então, ponto de equilíbrio:
      • Para :
        Então, ponto de equilíbrio:

Resposta

Os pontos de equilíbrio do sistema são:

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