Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas populações,
e
, mudam ao longo do tempo. A matéria aqui é sobre sistemas dinâmicos e equilíbrio de sistemas. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os pontos onde as populações não mudam mais, ou seja, os pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar os pontos de equilíbrio, a gente precisa igualar as duas equações a zero. Isso porque, no equilíbrio, as taxas de variação
e
são zero.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada equação separadamente.
Para a primeira equação:
Isso acontece quando
ou quando
.
Para a segunda equação:
Aqui,
ou
.
Passo 4
Vamos analisar os casos:
-
Caso
: - Substituindo na segunda equação:
Assim, ou . - Então, temos dois pontos de equilíbrio:
-
- Substituindo na segunda equação:
-
Caso
: -
Podemos reescrever como
. -
Substituindo na segunda equação:Substituindo
: Simplificando:Igualando a zero:-
⇒ -
⇒
-
-
Encontrando
para cada : -
Para
: Então, ponto de equilíbrio: -
Para
: Então, ponto de equilíbrio:
-
-
Resposta
Os pontos de equilíbrio do sistema são: