d/dt x = [-2 1; 1 -2] x + (-2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea. Vamos precisar usar matrizes, autovalores e autovetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz

Passo 3

Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Vamos encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá , ou seja, . Podemos escolher , então .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular seja constante, ou seja, . Assim, substituindo na equação:

Passo 8

Resolvendo para :
Então,
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados