Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea. Vamos precisar usar matrizes, autovalores e autovetores para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz
Passo 3
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos calcular:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Vamos encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá
, ou seja,
. Podemos escolher
, então
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular seja constante, ou seja,
. Assim, substituindo na equação:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então,
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.