Se r(t) for uma função vetorial lisa, então a integral
integrala^b|d rd t| d t
pode ser interpretada geometricamente como o

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma função vetorial lisa e uma integral que envolve a derivada dessa função. O conteúdo aqui está relacionado a cálculo vetorial, especificamente ao conceito de comprimento de arco de uma curva. Para resolver, vamos precisar entender o que representa a integral dada e como ela está ligada geometricamente à curva definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa é a derivada da função vetorial em relação a , que nos dá o vetor velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, a expressão representa a magnitude desse vetor velocidade, ou seja, a rapidez com que nos movemos ao longo da curva.

Passo 4

A integral está somando todas essas magnitudes ao longo do intervalo de de a . Basicamente, estamos acumulando todas essas rápidas pequenas para obter uma medida total.

Passo 5

Geometricamente, essa soma total das magnitudes da velocidade representa o comprimento total do caminho percorrido pela fun��ão vetorial de a .

Resposta

O comprimento do arco da curva definida por entre e .

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