d xd t=(rr0 & -beta de0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com constantes. Nosso objetivo aqui é resolver esse sistema para encontrar a função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores, além de técnicas de resolução de equações diferenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
dxdt = 0 & -beta de
Aqui, é um vetor de duas dimensões, e temos uma matriz de coeficientes mais um termo constante.

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos separar a parte homogênea da não homogênea. A parte homogênea é:
dxdt = 0 & -beta de
E a parte não homogênea é o vetor constante alpha -gamma . Vamos resolver a parte homogênea primeiro.

Passo 4

Para resolver a parte homogênea, precisamos encontrar os autovalores da matriz 0 & -beta de. Os autovalores det(A - lambda I) = 0 são encontrados resolvendo o determinante:
det -lambda & -beta de
Calculando:
lambda^2 = -betade
Então:
Os autovalores são imaginários puros, indicando soluções oscilatórias.

Passo 5

Com os autovalores xh(t) = C1 cos(omega t) sin(omega t) + C2 -sin(omega t) cos(omega t) , onde , a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinam a amplitude e a fase das oscilações.

Passo 6

Agora, vamos achar uma solução particular xp = xp yp para a parte não homogênea. Como o termo constante não depende do tempo, assumimos que a solução particular também é constante:
0 = A xp + alpha -gamma
Substituindo na equação original:
0 & -beta de
Ou seja:

Passo 7

Isso nos dá o sistema de equações:
-beta yp + alpha = 0 de
Resolvendo:
yp = alphabeta e xp = gammade
Então, a solução particular é:
xp = gammade

Passo 8

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t)
Substituindo:
x(t) = C1 cos(omega t) sin(omega t) + C2 -sin(omega t) cos(omega t) + gammade
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 cos(raizbetade
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados