Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com constantes. Nosso objetivo aqui é resolver esse sistema para encontrar a função
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores, além de técnicas de resolução de equações diferenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui,
é um vetor de duas dimensões, e temos uma matriz de coeficientes mais um termo constante.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos separar a parte homogênea da não homogênea. A parte homogênea é:
E a parte não homogênea é o vetor constante
. Vamos resolver a parte homogênea primeiro.
Passo 4
Para resolver a parte homogênea, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Então:
Os autovalores são imaginários puros, indicando soluções oscilatórias.
Passo 5
Com os autovalores
, onde
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinam a amplitude e a fase das oscilações.
Passo 6
Agora, vamos achar uma solução particular
para a parte não homogênea. Como o termo constante não depende do tempo, assumimos que a solução particular também é constante:
Substituindo na equação original:
Ou seja:
Passo 7
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Substituindo:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.