(0,75 Ponto) Argumente que o campo
não é um campo conservativo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. A matéria envolvida é sobre campos conservativos, que são importantes em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição que determina se um campo é conservativo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Passo 3
Uma propriedade importante de campos conservativos é que as derivadas cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Se essa igualdade não for satisfeita, o campo não é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular
e
para o nosso campo
.
Para
:
Passo 5
Agora, para
:
Passo 6
Comparamos as derivadas:
Como
, a condição para que o campo seja conservativo não é satisfeita.
Resposta
O campo
não é conservativo porque
.
Exercícios relacionados
Derive as funções.
Calcule as seguintes integrais mudando para coordenadas polares:
, em que
é a região do primeiro quadrante entre os círculos
e
.
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado: