(0,75 Ponto) Argumente que o campo não é um campo conservativo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A matéria envolvida é sobre campos conservativos, que são importantes em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição que determina se um campo é conservativo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que:

Passo 3

Uma propriedade importante de campos conservativos é que as derivadas cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Se essa igualdade não for satisfeita, o campo não é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular e para o nosso campo .
Para :

Passo 5

Agora, para :

Passo 6

Comparamos as derivadas:
Como , a condição para que o campo seja conservativo não é satisfeita.

Resposta

O campo não é conservativo porque .

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Derive as funções.
Mostre que o campo não é conservativo.
Calcule as seguintes integrais mudando para coordenadas polares: , em que é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função no ponto indicado: