Calcule as seguintes integrais mudando para coordenadas polares:
, em que
é a região do primeiro quadrante entre os círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. Primeiro, o enunciado nos fala que a região
está no primeiro quadrante e entre dois círculos:
e
. Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Precisamos saber como converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Em coordenadas polares, a relação é
e
. Além disso, o elemento de área
em polares é
. Nossa função
vira
porque
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
. O raio
varia entre os círculos dados, ou seja, de
a
(já que
e
).
Passo 4
Montamos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é a integral em
.
Passo 5
Para resolver
, fazemos uma substituição simples: seja
. Então,
ou
. A integral fica:
Agora, integramos
:
Passo 6
A integral de
é
. Aplicando os limites:
Passo 7
Agora, voltamos à integral principal:
Como a expressão dentro da integral não depende de
, podemos simplificar:
Passo 8
Multiplicamos pela largura do intervalo de
, que é
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
(0,75 Ponto) Argumente que o campo
não é um campo conservativo.
Derive as funções.
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado:
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada: