Calcule as seguintes integrais mudando para coordenadas polares: , em que é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . Primeiro, o enunciado nos fala que a região está no primeiro quadrante e entre dois círculos: e . Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Precisamos saber como converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas polares, a relação é e . Além disso, o elemento de área em polares é . Nossa função vira porque .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . O raio varia entre os círculos dados, ou seja, de a (já que e ).

Passo 4

Montamos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é a integral em .

Passo 5

Para resolver , fazemos uma substituição simples: seja . Então, ou . A integral fica:
Agora, integramos :

Passo 6

A integral de é . Aplicando os limites:

Passo 7

Agora, voltamos à integral principal:
Como a expressão dentro da integral não depende de , podemos simplificar:

Passo 8

Multiplicamos pela largura do intervalo de , que é :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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