Calcule as seguintes integrais mudando para coordenadas polares: integral duplaD sen(x^2+y^2) d A, em que D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaD sen(x^2+y^2) d A. Primeiro, o enunciado nos fala que a região D está no primeiro quadrante e entre dois círculos: x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Precisamos saber como converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas polares, a relação é x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Além disso, o elemento de área dA em polares é r , dr , dtheta. Nossa função sen(x^2+y^2) vira sen(r^2) porque x^2+y^2 = r^2.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2. O raio r varia entre os círculos dados, ou seja, de 1 a 3 (já que raiz1 = 1 e raiz9 = 3).

Passo 4

Montamos a integral em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral1^3 sen(r^2) cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é a integral em r.

Passo 5

Para resolver integral1^3 sen(r^2) cdot r , dr, fazemos uma substituição simples: seja u = r^2. Então, du = 2r , dr ou du2 = r , dr. A integral fica:
12 integral1^9 sen(u) , du
Agora, integramos sen(u):

Passo 6

A integral de sen(u) é -cos(u). Aplicando os limites:
12 [ -cos(9) + cos(1) ] = 12 ( cos(1) - cos(9) )

Passo 7

Agora, voltamos à integral principal:
integral0^pi2 12 ( cos(1) - cos(9) ) dtheta
Como a expressão dentro da integral não depende de theta, podemos simplificar:

Passo 8

Multiplicamos pela largura do intervalo de theta, que é pi2:
12 ( cos(1) - cos(9) ) cdot pi2 = pi4 ( cos(1) - cos(9) )

Resposta

Portanto, o valor da integral é pi4 ( cos(1) - cos(9) ).

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