Mostre que o campo
não é conservativo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial
não é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo ou não, usando o conceito de rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que seu rotacional é igual a zero.
Passo 3
O próximo passo é calcular o rotacional do campo
. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por:
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituímos essas derivadas na expressão do rotacional:
Como o rotacional não é zero (
), isso indica que o campo
não é conservativo.
Resposta
Portanto, o campo
não é conservativo porque seu rotacional é diferente de zero.
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(0,75 Ponto) Argumente que o campo
não é um campo conservativo.