(0, 7 5 P o n t o) Mostre que o campo F(x, y) = (x - 2y)i + (2x + y)j não é conservativo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial não é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo ou não, usando o conceito de rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que seu rotacional é igual a zero.

Passo 3

O próximo passo é calcular o rotacional do campo . Em duas dimensões, o rotacional de é dado por:
Vamos identificar e no nosso campo:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituímos essas derivadas na expressão do rotacional:
Como o rotacional não é zero ( ), isso indica que o campo não é conservativo.

Resposta

Portanto, o campo não é conservativo porque seu rotacional é diferente de zero.

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