[8,0 pts.] Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Isso vai nos dar o ponto onde a reta tangente vai tocar o gráfico.
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função
em relação a
, avaliada em
.
A função é . Vamos derivar usando a regra do produto, que diz que se
, então
.
Aqui,
e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente.
Sabemos que e
, então:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é
.