[8,0 pts.] Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x sen(x) no ponto de abscissa x = pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso vai nos dar o ponto onde a reta tangente vai tocar o gráfico.
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função em relação a , avaliada em .
A função é . Vamos derivar usando a regra do produto, que diz que se , então .
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente.
Sabemos que e , então:
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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