[ 3 , 0 pts.] Calcule as derivadas das funções abaixo (consideradas como definidas para x em seus domínios naturais). f(x) = e^arctg(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente com funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções que estão “dentro” umas das outras, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos uma função exponencial onde . A Regra da Cadeia diz que para derivar , a derivada será vezes a derivada de .

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte interna, que é . A derivada de é . Isso vem da regra básica de derivação das funções trigonométricas inversas.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, juntamos as duas partes que derivamos:

Resposta

A derivada da função é:

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