80 A maior velocidade de rotação possível de um planeta é aquela para a qual a força gravitacional no equador é igual à força centrípeta. (Por quê?) (a) Mostre que o período de rotação correspondente é dado por
T=raiz3 piG rho
em que rho é a massa específica do planeta esférico e homogêneo. (b) Calcule o período de rotação supondo uma massa específica de 3,0 g / cm^3, típica de muitos planetas, satélites e asteroides. Nunca foi observado um astro com um período de rotação menor que o determinado por essa análise.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre a velocidade de rotação máxima de um planeta. A ideia é mostrar como a força gravitacional no equador do planeta se iguala à força centrípeta devido à rotação. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à gravitação e à dinâmica de corpos em rotação. Precisaremos das fórmulas da força gravitacional, da força centrípeta e do período de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas forças. A força gravitacional ( Fg) é a força que mantém os objetos presos ao planeta, dada por:
Fg = dfracG M mR^2
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do planeta,
  • m é a massa do objeto na superfície,
  • R é o raio do planeta.
A força centrípeta ( Fc) é a força que mantém um objeto em movimento circular, no caso, devido à rotação do planeta:
Fc = m omega^2 R
onde:
  • omega é a velocidade angular ( omega = dfrac2piT, com T sendo o período de rotação).

Passo 3

No ponto em que a força gravitacional iguala a força centrípeta, temos:
Fg = Fc
Substituindo as fórmulas das forças:
dfracG M mR^2 = m omega^2 R
Podemos simplificar cancelando m dos dois lados:
dfracG MR^2 = omega^2 R

Passo 4

Agora, vamos expressar a massa M em termos da densidade rho do planeta. A massa de um planeta esférico homogêneo é:
M = dfrac43 pi R^3 rho
Substituindo isso na equação anterior:
dfracG ( dfrac43 pi R^3 rho )R^2 = omega^2 R
Simplificando:
dfrac43 pi G rho R = omega^2 R
Cancelando o R:
dfrac43 pi G rho = omega^2

Passo 5

Queremos encontrar o período de rotação T, que está relacionado à velocidade angular omega por:
omega = dfrac2piT
Substituindo na equação anterior:
dfrac43 pi G rho = ( dfrac2piT )^2
Simplificando:
dfrac43 pi G rho = dfrac4pi^2T^2

Passo 6

Agora, resolvemos para T:
T^2 = dfrac4pi^2dfrac43 pi G rho = dfrac3piG rho
Portanto:
T = raiz dfrac3piG rho

Passo 7

Agora, vamos calcular esse período para uma densidade rho = 3,0 , g/cm^3. Primeiro, precisamos converter a densidade para unidades do SI (kg/m³):
3,0 , g/cm^3 = 3000 , kg/m^3

Passo 8

A constante gravitacional G é aproximadamente:
G = 6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula do período:
T = raiz dfrac3pi(6,674 times 10^-11) times 3000
Calculando o denominador:
(6,674 times 10^-11) times 3000 = 2,0022 times 10^-7
Então:
T = raiz dfrac3pi2,0022 times 10^-7 = raiz dfrac9,42482,0022 times 10^-7 approx raiz4,713 times 10^7 approx 6860 , segundos
Convertendo para horas:
6860 , segundos div 3600 approx 1,907 , horas approx 1 , hora e , 54 , minutos

Resposta

O período de rotação máximo para uma densidade de 3,0 , g/cm^3 é aproximadamente 1 hora e 54 minutos.

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