80 A maior velocidade de rotação possível de um planeta é aquela para a qual a força gravitacional no equador é igual à força centrípeta. (Por quê?) (a) Mostre que o período de rotação correspondente é dado por
em que
é a massa específica do planeta esférico e homogêneo. (b) Calcule o período de rotação supondo uma massa específica de
, típica de muitos planetas, satélites e asteroides. Nunca foi observado um astro com um período de rotação menor que o determinado por essa análise.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre a velocidade de rotação máxima de um planeta. A ideia é mostrar como a força gravitacional no equador do planeta se iguala à força centrípeta devido à rotação. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à gravitação e à dinâmica de corpos em rotação. Precisaremos das fórmulas da força gravitacional, da força centrípeta e do período de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas forças. A força gravitacional (
) é a força que mantém os objetos presos ao planeta, dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do planeta, -
é a massa do objeto na superfície, -
é o raio do planeta.
A força centrípeta (
) é a força que mantém um objeto em movimento circular, no caso, devido à rotação do planeta:
onde:
-
é a velocidade angular ( , com sendo o período de rotação).
Passo 3
No ponto em que a força gravitacional iguala a força centrípeta, temos:
Substituindo as fórmulas das forças:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos expressar a massa
em termos da densidade
do planeta. A massa de um planeta esférico homogêneo é:
Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando:
Cancelando o
:
Passo 5
Queremos encontrar o período de rotação
, que está relacionado à velocidade angular
por:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular esse período para uma densidade
. Primeiro, precisamos converter a densidade para unidades do SI (kg/m³):
Passo 8
A constante gravitacional
é aproximadamente:
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula do período:
Calculando o denominador:
Então:
Convertendo para horas:
Resposta
O período de rotação máximo para uma densidade de
é aproximadamente 1 hora e 54 minutos.