Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
F=kr^2 r
d) Mostre que
1r1=-m kL^2+A, 1r2=-m kL^2-A
sendo r1 e r2 os pontos de retorno do movimento em r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo sob a influência de uma força central da forma . Nosso objetivo aqui é mostrar duas equações que relacionam e com outros termos da física envolvida no movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conservação do momento angular e das equações de movimento em forças centrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma força central, o momento angular L = m r^2 dottheta da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
onde é a massa da partícula, é a distância ao centro da força, e é a velocidade angular. Como é constante, podemos usar isso para simplificar nossas equações.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia da partícula. A energia total E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + V(r) é a soma da energia cinética radial e da energia cinética angular, além da energia potencial. A energia cinética radial é V(r) = -kr e a energia cinética angular já temos em termos de :
A energia potencial está relacionada à força central. Como , para a força dada , integramos para encontrar :

Passo 4

Nas posições de retorno E = L^22 m r^2 - kr e , a velocidade radial é zero porque a partícula muda de direção. Então, a energia total nesses pontos será apenas a energia cinética angular mais a energia potencial:

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para termos uma expressão em termos de E r^2 = L^22 m - k r . Multiplicando ambos os lados por k r = L^22 m - E r^2 , temos:
kr = L^22 m r^2 - E
Agora, reorganizando os termos:
kr^3 = L^22 m r^4 - Er
Dividindo tudo por :
Multiplicando ambos os lados por :
No entanto, para simplificar e chegar nas expressões pedidas, vamos considerar uma abordagem diferente envolvendo a equação da órbita.

Passo 6

A equação da órbita para uma força central inversa ao quadrado pode ser expressa em termos de d^2 udtheta^2 + u = m kL^2 . A equação diferencial resultante dessa transformação é:
u(theta) = m kL^2 + A cos(theta - theta0)
A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes de integração.

Passo 7

Nos pontos de retorno u1 = 1r1 = m kL^2 + A e u2 = 1r2 = m kL^2 - A , a partícula está na posição mais próxima e mais distante, respectivamente. Nesses pontos, o ângulo corresponde a e , então:
Para (próximo):
Para (distante):

Resposta

Mostramos que:
1r1 = m kL^2 + A e 1r2 = m kL^2 - A

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