Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
d) Mostre que
sendo
e
os pontos de retorno do movimento em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo sob a influência de uma força central da forma
. Nosso objetivo aqui é mostrar duas equações que relacionam
e
com outros termos da física envolvida no movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conservação do momento angular e das equações de movimento em forças centrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma força central, o momento angular
da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
onde
é a massa da partícula,
é a distância ao centro da força, e
é a velocidade angular. Como
é constante, podemos usar isso para simplificar nossas equações.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia da partícula. A energia total
é a soma da energia cinética radial e da energia cinética angular, além da energia potencial. A energia cinética radial é
e a energia cinética angular já temos em termos de
:
A energia potencial
está relacionada à força central. Como
, para a força dada
, integramos para encontrar
:
Passo 4
Nas posições de retorno
e
, a velocidade radial
é zero porque a partícula muda de direção. Então, a energia total nesses pontos será apenas a energia cinética angular mais a energia potencial:
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para termos uma expressão em termos de
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, reorganizando os termos:
Dividindo tudo por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
No entanto, para simplificar e chegar nas expressões pedidas, vamos considerar uma abordagem diferente envolvendo a equação da órbita.
Passo 6
A equação da órbita para uma força central inversa ao quadrado pode ser expressa em termos de
. A equação diferencial resultante dessa transformação é:
A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 7
Nos pontos de retorno
e
, a partícula está na posição mais próxima e mais distante, respectivamente. Nesses pontos, o ângulo
corresponde a
e
, então:
Para
(próximo):
Para
(distante):
Resposta
Mostramos que: